2x-y=k রেখাটি y²=24x পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে k এর মান কত? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত রেখা: \(2x - y = k\) প্রদত্ত পরাবৃত্ত: \(y^2 = 24x\) আমাদের লক্ষ্য হলো, যখন রেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে তখন \(k\) এর মান কত। অর্থাৎ, রেখাটি এবং পরাবৃত্তের মধ্যে একমাত্র একটিই পয়েন্টে স্পর্শ হবে।

ধাপ ১: রেখাটিকে সমীকরণে রূপান্তর করুন

\[ 2x - y = k \implies y = 2x - k \]

ধাপ ২: রেখার সমীকরণটি পরাবৃত্তের সমীকরণে বসান

\[ (2x - k)^2 = 24x \]

ধাপ ৩: সমীকরণটি সমাধান করুন

\[ (2x - k)^2 = 24x \] \[ 4x^2 - 4kx + k^2 = 24x \] \[ 4x^2 - 4kx - 24x + k^2 = 0 \] \[ 4x^2 - (4k + 24)x + k^2 = 0 \]

ধাপ ৪: স্পর্শের জন্য শর্ত

একটিমাত্র পয়েন্টে স্পর্শের জন্য, এই কোয়েশনের ডিটারমিন্যান্ট (discriminant) শূন্য (0) হওয়া উচিত। অর্থাৎ, \[ \Delta = 0 \] \[ \Delta = [-(4k + 24)]^2 - 4 \times 4 \times k^2 = 0 \] \[ (4k + 24)^2 - 16k^2 = 0 \] \[ (4k + 24)^2 = 16k^2 \] \[ (4k + 24)^2 = (4k)^2 \] \[ (4k + 24)^2 = 16k^2 \] বর্গের সমীকরণটি খুলে লিখি: \[ (4k)^2 + 2 \times 4k \times 24 + 24^2 = 16k^2 \] \[ 16k^2 + 2 \times 4k \times 24 + 576 = 16k^2 \] \[ 16k^2 + 192k + 576 = 16k^2 \] উভয় পাসে 16k^2 কেটে ফেলি: \[ 192k + 576 = 0 \] \[ 192k = -576 \] \[ k = -\frac{576}{192} = -3 \]

উত্তর:

\[ \boxed{k = -3} \]