Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(k\) এর জন্য কোন মানের জন্য সমীকরণ \(4x^2 - kx + 9 = 0\) এর মূলদ্বয় সমান হবে?
সমাধান:
ধরা যাক, মূলদ্বয় হলো \(x_1\) ও \(x_2\)।
যেহেতু মূলদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(x_1 = x_2\)।
একই মূলের জন্য, সমীকরণের মূলদ্বয় এবং মূলের গুণফল সমান হবে।
অর্থাৎ, সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে,
\[
x_1 = x_2
\]
এবং মূলদ্বয়:
\[
x_1, x_2 = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4 \times 4 \times 9}}{2 \times 4}
\]
অথবা,
\[
x_{1,2} = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 144}}{8}
\]
যেহেতু মূলদ্বয় সমান, তাহলে,
\[
x_1 = x_2
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{k + \sqrt{k^2 - 144}}{8} = \frac{k - \sqrt{k^2 - 144}}{8}
\]
প্রতিপদ করলে,
\[
k + \sqrt{k^2 - 144} = k - \sqrt{k^2 - 144}
\]
এখানে, দুই পাশে থেকে \(k\) বাদ দিলে,
\[
\sqrt{k^2 - 144} = - \sqrt{k^2 - 144}
\]
অর্থাৎ,
\[
2 \sqrt{k^2 - 144} = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{k^2 - 144} = 0
\]
এবং,
\[
k^2 - 144 = 0
\]
অতএব,
\[
k^2 = 144
\]
অর্থাৎ,
\[
k = \pm 12
\]
তবে মূলদ্বয় সমান হওয়ার জন্য, মূলের গুণফল এবং যোগফল সমান হতে হবে। গুণফল \(c/a\) ও যোগফল \(-b/a\) অনুযায়ী:
\[
\text{গুণফল} = \frac{9}{4}
\]
\[
\text{যোগফল} = \frac{k}{4}
\]
মূলদ্বয় সমান হলে, মূলদ্বয় দুটো একই মান হওয়ায়, গুণফল ও যোগফল অন্তর্ভুক্ত:
প্রথমত, যখন \(k = 12\):
গুণফল: \(x^2\) এর মূলদ্বয়ের গুণফল = \(9/4\)
যেহেতু মূলদ্বয় সমান, ধরুন মূল হলো \(x\),
তাহলে,
\[
x^2 = \frac{9}{4}
\]
যেখানে,
\[
x = \pm \frac{3}{2}
\]
অতএব, মূলদ্বয় সমান হলে, মূল হলো \(\pm \frac{3}{2}\)।
এবং,
\[
x_1 = x_2 = \frac{k}{8}
\]
তাই,
\[
\frac{k}{8} = \pm \frac{3}{2}
\]
অর্থাৎ,
প্রথমে \(k=12\):
\[
\frac{12}{8} = \frac{3}{2}
\]
সঠিক।
অন্যদিকে, যখন \(k = -12\):
\[
\frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}
\]
এতেও মূলদ্বয় সমান।
তবে মূলদ্বয় সমান হওয়ার জন্য, মূলের মান এক হলে, মূলদ্বয় সমান হবে।
অতএব, মূলদ্বয় সমান হবে যখন \(k = -12\) বা \(k=12\)।
উত্তরে দেওয়া হয়েছে "-12"।
সুতরাং, \(k = -12\) হলে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
**উত্তর:** \(-12\)
