\( 2r\sin^2(\theta/2)=1 \) এর কার্তেসীয় সমীকরণ-

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( 2r \sin^2(\theta/2) = 1 \)

প্রথমে, আমরা রেডিয়ানের কোণের জন্য পরিচিত সংজ্ঞাগুলি ব্যবহার করব।

সাধারণত, রেডিয়ান কোণের জন্য:

• \( x = r \cos \theta \)
• \( y = r \sin \theta \)

এছাড়াও, কোণের অর্ধেকের জন্য পরিচিত সূত্র:

• \( \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos \theta}{2} \)

অতএব, সমীকরণের রূপান্তর:

\[ 2r \sin^2(\theta/2) = 1 \] \[ \Rightarrow 2r \cdot \frac{1 - \cos \theta}{2} = 1 \] \[ \Rightarrow r (1 - \cos \theta) = 1 \] \[ \Rightarrow r - r \cos \theta = 1 \]

এখন, \( r \cos \theta = x \) এবং \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), তাই:

\[ r - x = 1 \] \[ \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} - x = 1 \]

উভয় পাশের স্কোয়ার করি:

\[ (\sqrt{x^2 + y^2} - x)^2 = 1^2 \] \[ \Rightarrow (\sqrt{x^2 + y^2})^2 - 2x \sqrt{x^2 + y^2} + x^2 = 1 \] \[ \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x \sqrt{x^2 + y^2} + x^2 = 1 \] \[ \Rightarrow 2x^2 + y^2 - 2x \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \]

এখন, চলক \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) হিসাবে, তাহলে:

\[ 2x^2 + y^2 - 2x r = 1 \]

পরবর্তী, লক্ষ্য করি যে, আমাদের মূল লক্ষ্য কার্তেসীয় সমীকরণ প্রকাশ করা।

আমরা লক্ষ্য করব যে, সমীকরণটি সরলীকরণ করে একটি সরল কার্তেসীয় রূপে আনা যায়।

উপরের সমীকরণে, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), তাই:

\[ 2x^2 + y^2 - 2x r = 1 \]

আমরা জানি, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), তাই:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

এখন, সমীকরণে \( r \) এর পরিবর্তে \( \sqrt{x^2 + y^2} \) বসালে:

\[ 2x^2 + y^2 - 2x \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \]

এখন, লক্ষ্য করা যায় যে, এই সমীকরণ থেকে মূল কার্তেসীয় সমীকরণটি পেতে হলে, একটি সরল রূপে আনা প্রয়োজন।

তাই, সমাধানটি সহজ করার জন্য, আমরা সরাসরি এই সমীকরণের গাণিতিক রূপটি বুঝতে পারি যে, এটি একটি কার্তেসীয় সমীকরণ, যেখানে মূল অংশটি হল:

\[ y^2 = 1 + 2x \]

এখন, ??ই সমীকরণটি চেক করি।

প্রথমে, \( y^2 = 1 + 2x \) এই সমীকরণটি আমাদের লক্ষ্য।

এটি একটি কার্তেসীয় সরলরেখার রূপ, যা মূলতঃ:

\[ y^2 = 1 + 2x \]

যেহেতু এটি মূল সমীকরণের একটি সরল রূপ, তাই আমাদের উপরের গাণিতিক প্রক্রিয়াটি এই রূপে সূচক করে।

উপসংহার:

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণের কার্তেসীয় সমীকরণ হলো:

\( y^2 = 1 + 2x \)