D=|(4,5,2),(-a,3,1),(6,-2,4)| নির্ণায়কের (3,2) তম ভুক্তির সহগুনক -8 হলে, a = কত?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত ডিটারমিন্যান্ট:

\(D = \left| \begin{matrix} 4 & 5 & 2 \\ -a & 3 & 1 \\ 6 & -2 & 4 \end{matrix} \right|\)

এবং জানানো হয়েছে যে নির্ণায়কের (3,2) তম ভুক্তির সহগুণক = -8।

অর্থাৎ, সহগুণক হল নির্ণায়কের ২য় সারির ৩য় উপাদান, অর্থাৎ:

\(a_{2,3} = 1\)

তাই, এই ক্ষেত্রে, সহগুণক সম্পর্কিত তথ্যটি স্পষ্ট নয়। তবে সাধারণত, নির্ণায়কের নির্ণয় করতে, আমরা ডিটারমিন্যান্টের মান ব্যবহার করি।

ধাপ 1: ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করুন:

\(D = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 2 \\ -a & 3 & 1 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix}\)

এটি 3x3 ডিটারমিন্যান্ট, তার মান হিসাব করি:

\(D = 4 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - 5 \times \begin{vmatrix} -a & 1 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -a & 3 \\ 6 & -2 \end{vmatrix}\)

ধাপ 2: 2x2 ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করুন:

\(\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} = p \times s - q \times r\)

অতএব,

\(\begin{aligned} & \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 1 \times (-2) = 12 + 2 = 14 \\ & \begin{vmatrix} -a & 1 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} = (-a) \times 4 - 1 \times 6 = -4a - 6 \\ & \begin{vmatrix} -a & 3 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = (-a) \times (-2) - 3 \times 6 = 2a - 18 \end{aligned}\)

ধাপ 3: ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করুন:

\(D = 4 \times 14 - 5 \times (-4a - 6) + 2 \times (2a - 18)\)

\(D = 56 + 5(4a + 6) + 2(2a - 18)\)

\(D = 56 + 20a + 30 + 4a - 36\)

সংকলন করলে:

\(D = (56 + 30 - 36) + (20a + 4a) = 50 + 24a\)

ধাপ 4: নির্ণায়কের (3,2) তম ভুক্তির সহগুণক -8 হবে:

সাধারণত, দ্বৈত ডিটারমিন্যান্টে, (i,j) উপাদানের সহগুণক হল নির্ণায়কের যেকোনো উপাদান, যা নির্ণায়কের মানের উপর নির্ভর করে।

তবে, এখানে প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, নির্ণায়কের (3,2) তম ভুক্তির সহগুণক -8।

এবং, সাধারণত, 3rd row, 2nd column এর সহগুণক নির্ণায়কের 3rd row, 2nd column এর উপাদানের কোফ্যাক্টর বা সহগুণক।

কোফ্যাক্টর \(\ C_{3,2} \) নির্ণয় করতে, 3rd row আর 2nd column বাদ দিয়ে 2x2 উপাদানের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি:

\(\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -a & 1 \end{vmatrix}\)

এটি:

\(4 \times 1 - 2 \times (-a) = 4 + 2a\)

কোফ্যাক্টর সহগুণক (cofactor) = \((-1)^{3+2} \times \text{determinant of minor}\), যেখানে \((-1)^{3+2} = (-1)^5 = -1\), তাই:

\(C_{3,2} = - (4 + 2a) = -4 - 2a\)

প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, এই সহগুণক = -8। অতএব:

\(-4 - 2a = -8\)

ধাপ 5: সমাধান:

\(-2a = -8 + 4 = -4\)

অতএব:

\(a = \frac{-4}{-2} = 2\)

উত্তর:

অতএব, a = 2