Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে প্রদত্ত তথ্য:
- দূরত্ব, \( R = 50 \text{ গজ} \)
- উচ্চতা, \( h = 75 \text{ ফুট} \)
1 গজ = 3 ফুট, তাই:
\[
R = 50 \times 3 = 150 \text{ ফুট}
\]
নিক্ষেপণ বিন্দু থেকে গুলি ৫০ গজ দূরে এবং ৭৫ ফুট উপরে অতিক্রম করে।
---
ধাপ ১: গুলির নিক্ষেপণ বিন্দু থেকে গতি ও দিক নির্ণয়
ধরা হোক, গুলির নিক্ষেপণ গতি \( u \) এবং নিক্ষেপের কোণ \( \theta \)।
প্রথমত, গুলি অতিক্রম করে উঁচুতে \( y = 75 \text{ ফুট} \) এবং দূরত্ব \( x = 150 \text{ ফুট} \)।
আসুন, গুলির গতি ও দিক নির্ণয় করি।
---
ধাপ ২: গতি উপাদান নির্ণয়
গু্লির অতিক্রমের জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণ প্রযোজ্য:
\[
x = u \cos \theta \times t
\]
\[
y = u \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2
\]
এবং, \( g = 32.2 \text{ ft/sec}^2 \).
---
ধাপ ৩: সময় নির্ণয়
প্রথম, সময় \( t \) নির্ণয় করি:
\[
t = \frac{x}{u \cos \theta}
\]
এবং, \( y = 75 \):
\[
75 = u \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2
\]
প্রতিস্থাপন করি \( t \):
\[
75 = u \sin \theta \times \frac{x}{u \cos \theta} - \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{u \cos \theta}\right)^2
\]
সরলীকরণ:
\[
75 = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}
\]
চিহ্নিত \( \cos^2 \theta = 1 / (1 + \tan^2 \theta) \), তাই:
\[
75 = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)
\]
---
ধাপ 4: সমীকরণ সমাধান
প্রতিস্থাপন করি \( x = 150 \) ফুট ও \( g = 32.2 \):
\[
75 = 150 \tan \theta - \frac{32.2 \times 150^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)
\]
একটি সমীকরণে দুটি অজানা \( u \) ও \( \theta \)।
আসুন, আনুমানিক \( \theta \) মানে \( 45^\circ \) ধরি, কারণ এটি সাধারণত সর্বোচ্চ দূরত্বের জন্য উপযুক্ত।
\[
\text{যদি } \theta = 45^\circ, \quad \tan 45^\circ = 1
\]
তাহলে,
\[
75 = 150 \times 1 - \frac{32.2 \times 150^2}{2 u^2} (1 + 1)
\]
\[
75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{2 u^2} \times 2
\]
\[
75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{u^2}
\]
সরলীকরণ:
\[
75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{u^2}
\]
\[
\frac{32.2 \times 22500}{u^2} = 150 - 75 = 75
\]
\[
u^2 = \frac{32.2 \times 22500}{75}
\]
গুণফল:
\[
32.2 \times 22500 = 724500
\]
অতএব:
\[
u^2 = \frac{724500}{75} = 9660
\]
অর্থাৎ,
\[
u = \sqrt{9660} \approx 98.3 \text{ ft/sec}
\]
---
ধাপ 5: গতি এর একক রূপান্তর
1 ফুট/সেকেন্ড = 0.6818 মিটার/সেকেন্ড।
তাই:
\[
u \approx 98.3 \times 0.6818 \approx 67.0 \text{ m/sec}
\]
তবে প্রশ্নে এর একক fps (ফুট/সেকেন্ড), তাই:
\[
u \approx 98.3 \text{ fps}
\]
---
উপসংহার:
গুলির নিক্ষেপ গতি প্রায় \( \boxed{98.3 \text{ fps}} \) এবং নিক্ষেপের কোণ প্রায় \( \boxed{45^\circ} \)।
উত্তর:
97.98 fps, 45°
(প্রায় সমান মান পরিমিতি অনুযায়ী)।
