cosectheta + cottheta = sqrt3  এবং  (0 < theta < pi/2)  হলে, theta  এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণ: \( \csc \theta + \cot \theta = \sqrt{3} \) এবং \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)।

প্রথমে, আমরা সমীকরণটি ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করে সরল করব।

জানা থাকলে: \[ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \quad \text{এবং} \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \] অতএব, সমীকরণটি লেখা যায়: \[ \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] এখানে সাধারণ ভাগ করে: \[ \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] অর্থাৎ, \[ 1 + \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \]

এখন, উভয় পাশকে স্কোয়ার করি: \[ (1 + \cos \theta)^2 = 3 \sin^2 \theta \] বিস্তৃতি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta \]

জানা থাকলে, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), তাই: \[ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \] এটি ব্যবহারে: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 (1 - \cos^2 \theta) \] বিস্তৃতি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta \]

সব পদের মধ্যে একসঙ্গে রাখি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 3 \] অর্থাৎ: \[ 1 + 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta = 3 \]

উভয় পাশে 1 বাদ দিলে: \[ 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta = 2 \]

দুটি পদের মধ্যে ভাগ করি 2 দ্বারা: \[ \cos \theta + 2 \cos^2 \theta = 1 \]

অতএব, এই সমীকরণটি লেখা যায়: \[ 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0 \]

এটি একটি দ্বিগুণবীজগণিত সমীকরণ। চলুন, \(\cos \theta = x\) ধরি। তাহলে: \[ 2x^2 + x - 1 = 0 \]

সমাধান করি: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

অর্থাৎ, দুইটি মান: \[ x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] এবং \[ x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

অতএব, \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) অথবা \(\cos \theta = -1\)।

আমাদের দেওয়া শর্ত: \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)। এই ত্রিভুজিকাল কোণার জন্য, \(\cos \theta\) এর মান হতে পারে: - \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) (কারণ, \(\cos \theta = -1\) এই মানটি এই সীমার মধ্যে নয়।)

এখন, \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) হলে, \(\theta\) এর মান হবে: \[ \theta = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \]

অতএব, উত্তর হলো:

\(\boxed{\frac{\pi}{3}}\)