Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথম বৃত্তের সমীকরণঃ
\[
x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0
\]
দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণঃ
\[
3x^2 + 3y^2 - 6x - 9y - 3 = 0
\]
প্রথমে, দ্বিতীয় সমীকরণটি সাধারণ রূপে আনতে হবে।
প্রথমে, সমীকরণের সকল অংশকে 3 দ্বারা ভাগ করি:
\[
x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1 = 0
\]
এখন, এটির সাথে প্রথম সমীকরণের তুলনা করতে পারি।
---
**প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের ধ্রুবক নির্ণয়:**
\[
x^2 - 3x + y^2 - 4y + 5 = 0
\]
এখানে, পূর্ণ স্কোয়ারের মাধ্যমে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 3x + y^2 - 4y = -5
\]
সম্পূরক যোগ করি:
\[
x^2 - 3x + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + y^2 - 4y + ( -2)^2 - ( -2)^2 = -5
\]
অর্থাৎ,
\[
\left( x^2 - 3x + \frac{9}{4} \right) + \left( y^2 - 4y + 4 \right) = -5 + \frac{9}{4} + 4
\]
\[
\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - 2 \right)^2 = -5 + \frac{9}{4} + 4
\]
সমাধান করি ডান পাশে:
\[
-5 + 4 = -1
\]
\[
-1 + \frac{9}{4} = -\frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + ( y - 2)^2 = \frac{5}{4}
\]
এতে, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1 = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \) এবং রেডিয়াস \( r_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)।
---
**দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণের পুনর্বিন্যাস:**
\[
x^2 + y^2 - 2x - 3y = 1
\]
পূর্ণ স্কোয়ারে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 2x + y^2 - 3y = 1
\]
সম্পূরক যোগ করি:
\[
x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
( x - 1)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 1 + 1 + \frac{9}{4} = 2 + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{9}{4} = \frac{17}{4}
\]
এতে, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2 = (1, \frac{3}{2}) \) এবং রেডিয়াস \( r_2 = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \)।
---
**সাধারণ জ্যা (Common Chord) এর সমীকরণ:**
প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1 = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \),
দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2 = (1, \frac{3}{2}) \).
সাধারণ জ্যার জন্য দুই কেন্দ্রের মধ্যবর্তী লাইনটি খুঁজতে হবে।
এটি দুই সমীকরণের সমানুপাতিক ব্যবধানের সমীকরণ, অর্থাৎ,
\[
\text{General chord} = \text{equation of the line dividing the two circles}
\]
দুটি সমীকরণের যোগফল বা বিয়োগফল থেকে সাধারণ জ্যার নির্ণয় করি:
\[
\text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)}:
\]
\[
\left( x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 \right) - 3 \times \left( x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1 \right) = 0
\]
অথবা, সরাসরি সমীকরণ থেকে সাধারণ জ্যার পাওয়া যায়, যেহেতু কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখা দুই বৃত্তের সমান্তরাল।
তাই, দুই সমীকরণের মধ্যবর্তী রেখার সমীকরণ:
\[
\text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)}:
\]
\[
(x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5) - (x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1) = 0
\]
সরলীকরণ করি:
\[
-3x - 4y + 5 - (-2x - 3y - 1) = 0
\]
\[
-3x - 4y + 5 + 2x + 3y + 1 = 0
\]
\[
(-3x + 2x) + (-4y + 3y) + (5 + 1) = 0
\]
\[
- x - y + 6 = 0
\]
অথবা,
\[
x + y - 6 = 0
\]
**অতএব, দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ হলো:**
\[
\boxed{ x + y - 6 = 0 }
\]
---
উত্তরঃ
x + y - 6 = 0
