y=cos^-1"(X-X^-1)/(X+X^-1)  হলে dy/dx=?

প্রথমে আমাদের দেওয়া ফাংশনটি হলো:

\[ y = \cos^{-1}\left( \frac{X - X^{-1}}{X + X^{-1}} \right) \]

এখন, ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে, প্রথমে ভেতরের ফাংশনকে সংক্ষেপে সেট করি:

\[ u = \frac{X - X^{-1}}{X + X^{-1}} \]

অতএব,

\[ y = \cos^{-1}(u) \]

ডেরিভেটিভ অনুযায়ী,

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \]

এখন, প্রথমে \( u \) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:

\[ u = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{where} \quad f(x) = X - X^{-1}, \quad g(x) = X + X^{-1} \]

ডটরি নিয়ম অনুযায়ী:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \]

এখন, \( f(x) \) এবং \( g(x) \) এর ডেরিভেটিভ হিসেব করি:

\[ f'(x) = 1 - (-1)X^{-2} = 1 + X^{-2} \]

\[ g'(x) = 1 - X^{-2} \]

অতএব,

\[ \frac{du}{dx} = \frac{(1 + X^{-2})(X + X^{-1}) - (X - X^{-1})(1 - X^{-2})}{(X + X^{-1})^2} \]

প্রথমে, numerator এর অংশগুলো সরল করি:

\[ N = (1 + X^{-2})(X + X^{-1}) - (X - X^{-1})(1 - X^{-2}) \]

প্রথম অংশ:

\[ (1 + X^{-2})(X + X^{-1}) = X + X^{-1} + X^{-1} + X^{-3} = X + 2X^{-1} + X^{-3} \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ (X - X^{-1})(1 - X^{-2}) = (X - X^{-1}) - (X - X^{-1})X^{-2} \]

এবং,

\[ (X - X^{-1})X^{-2} = X \cdot X^{-2} - X^{-1} \cdot X^{-2} = X^{-1} - X^{-3} \]

অতএব,

\[ (X - X^{-1})(1 - X^{-2}) = X - X^{-1} - (X^{-1} - X^{-3}) = X - X^{-1} - X^{-1} + X^{-3} = X - 2X^{-1} + X^{-3} \]

এখন, numerator:

\[ N = (X + 2X^{-1} + X^{-3}) - (X - 2X^{-1} + X^{-3}) = (X - X) + (2X^{-1} + 2X^{-1}) + (X^{-3} - X^{-3}) = 4X^{-1} \]

অতএব,

\[ \frac{du}{dx} = \frac{4X^{-1}}{(X + X^{-1})^2} \]

এখন, \( u \) এর মানের উপর ডেরিভেটিভ:

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{4X^{-1}}{(X + X^{-1})^2} \]

এখন, \( 1 - u^2 \) হিসেব করি:

\[ u = \frac{X - X^{-1}}{X + X^{-1}} \]

সুতরাং,

\[ u^2 = \left( \frac{X - X^{-1}}{X + X^{-1}} \right)^2 \]

অতএব,

\[ 1 - u^2 = \frac{(X + X^{-1})^2 - (X - X^{-1})^2}{(X + X^{-1})^2} \]

নিউমেরেটারটি হিসেব করি:

\[ (X + X^{-1})^2 - (X - X^{-1})^2 \]

যা হলো:

\[ [X^2 + 2 + X^{-2}] - [X^2 - 2 + X^{-2}] = 4 \]

অতএব,

\[ 1 - u^2 = \frac{4}{(X + X^{-1})^2} \]

অর্থাৎ,

\[ \sqrt{1 - u^2} = \frac{2}{|X + X^{-1}|} \]

সুতরাং, ডেরিভেটিভ:

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\frac{2}{|X + X^{-1}|}} \cdot \frac{4X^{-1}}{(X + X^{-1})^2} = - \frac{|X + X^{-1}|}{2} \cdot \frac{4X^{-1}}{(X + X^{-1})^2} \]

যখন \( X + X^{-1} > 0 \), তখন \( |X + X^{-1}| = X + X^{-1} \), তাই:

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{X + X^{-1}}{2} \cdot \frac{4X^{-1}}{(X + X^{-1})^2} = - \frac{4X^{-1}(X + X^{-1})}{2 (X + X^{-1})^2} \]

সরল করলে:

\[ \frac{dy}{dx} = - \frac{2X^{-1}}{X + X^{-1}} \]

এখন, নিচের অংশটি সরল করি:

\[ \frac{2X^{-1}}{X + X^{-1}} = \frac{2/X}{X + 1/X} = \frac{2/X}{(X^2 + 1)/X} = \frac{2/X}{(X^2 + 1)/X} = \frac{2}{X^2 + 1} \]

অতএব, চূড়ান্ত ফলাফল হলো:

\[ \boxed{\frac{dy}{dx} = - \frac{2}{X^2 + 1}} \]