Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত বিন্দু \(A(-1, 0)\) এবং রেখা \( y = x^{3} - 3x^{2} - x + 3 \) উপর অবস্থিত। প্রথমে, এই বিন্দুটি রেখার উপর আছে কিনা তা যাচাই করি।
ধাপ ১: বিন্দুটি রেখার উপর কি?
প্রতিস্থাপন করি \(x = -1\), \(y = 0\):
\( y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3 \)
\( y = -1 - 3(1) + 1 + 3 \)
\( y = -1 - 3 + 1 + 3 = 0 \)
অতএব, \(A(-1, 0)\) রেখার উপর অবস্থিত।
ধাপ ২: রেখার ধারা ও ঢাল নির্ণয়
প্রথমে, রেখার ধারা খুঁজে বের করি। ধারা পেতে \( y = x^{3} - 3x^{2} - x + 3 \) এর ডেরিভেটিভ নেব:
\[
\frac{dy}{dx} = 3x^{2} - 6x - 1
\]
এখন, বিন্দু \(x = -1\) এর জন্য:
\[
\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-1} = 3(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 3(1) + 6 - 1 = 3 + 6 - 1 = 8
\]
অতএব, ঢাল \(m = 8\)।
**উত্তর (i):** "A বিন্দুতে ঢাল = 8" --- **সঠিক।**
ধাপ ৩: স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়
স্পর্শকের সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
এখানে, \(x_1 = -1\), \(y_1= 0\), ও \(m=8\):
\[
y - 0 = 8(x + 1)
\]
\[
y = 8x + 8
\]
এখন, এই সমীকরণকে স্ট্যান্ডার্ড রূপে লিখি:
\[
8x - y + 8 = 0
\]
**উত্তর (ii):** "A বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ 8x - y + 8 = 0" --- **সঠিক।**
ধাপ ৪: অভিলম্বের সমীকরণ
অভিলম্বের ঢালটি হল ডেরিভেটিভের মান, অর্থাৎ 8। অভিলম্বের সমীকরণ:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y - 0 = 8(x + 1)
\]
\[
y = 8x + 8
\]
এটি স্পর্শকের সমীকরণের সাথে একই। তবে, প্রশ্নে দেওয়া অভিলম্বের সমীকরণ:
\[
x - 8y - 1 = 0
\]
এটি স্পর্শকের সমীকরণের সাথে মিলে না। কারণ, এই সমীকরণে ঢাল - \(\frac{1}{8}\) (অর্থাৎ, অভিলম্বের ঢাল নয়), ও এটি স্পর্শকের ঢাল নয়।
অতএব, এই সমীকরণটি সঠিক নয়।
---
### উপসংহার:
- (i) সত্য
- (ii) সত্য
- (iii) মিথ্যা
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**।
