15 m উঁচু একটি গাছের ডাল হতে 200 gm ভরের একটি আম নিচের কাদা মাটিতে পড়ে 10 cm গর্তের সৃষ্টি করে। [g=9.8 ms^-2]

ভূমি হতে কত উচ্চতায় আমটির বিভবশক্তি এর গতিশক্তির দ্বিগুণ?

সমাধান:

দেওয়া তথ্য:

• গাছের উচ্চতা, \(h_{গাছ} = 15\,m\)
• আমের ভর, \(m = 200\,g = 0.2\,kg\)
• গড়ে গর্তের গভীরতা, \(h_{গর্ত} = 10\,cm = 0.1\,m\)
• গুরুত্বাঙ্ক, \(g = 9.8\,m/s^2\)

প্রথমে, আমের বিভবশক্তি (Potential Energy) নির্ণয় করি:

আমের উচ্চতা, \(h_{আম} = h_{গাছ} - h_{গর্ত} = 15\,m - 0.1\,m = 14.9\,m\)

বিভবশক্তি, \(PE = mgh_{আম} = 0.2 \times 9.8 \times 14.9\)

\(PE = 0.2 \times 9.8 \times 14.9 = 29.252\,J\)

আমের গতিশক্তি (Kinetic Energy) যখন নিচে পড়ে, তখন:

কেননা, গাছের উচ্চতা থেকে পড়ে গিয়ে আমটি কাদা মাটিতে পড়ছে।

পড়ার সময়, বিভবশক্তি কinetic energy-তে রূপান্তরিত হয়।

আমের গর্তে পড়ার পরে, আমের উচ্চতা কত?

আমটি পড়ে 10 সেমি গর্তে, অর্থাৎ নিচে নামার জন্য, তার উচ্চতা কমে যায়।

সুতরাং, আমের উচ্চতা, \(h_{নিচে} = h_{আম} - h_{গর্ত} = 14.9\,m - 0.1\,m = 14.8\,m\)

অতএব, আমের বিভবশক্তি যখন গর্তে পড়ে, তখন:

\(PE_{নিচে} = m g h_{নিচে} = 0.2 \times 9.8 \times 14.8 = 29.003\,J\)

আমের গতি শক্তি, \(KE\), যখন গর্তে পড়ে, তা বিভবশক্তির সমান হয়।

তাই, \(KE = PE_{নিচে} = 29.003\,J\)

প্রশ্নে বলা হ??়েছে, "ভূমি থেকে কত উচ্চতায় আমটির বিভবশক্তি এর গতিশক্তির দ্বিগুণ?"

অর্থাৎ, যদি উচ্চতা হয় \(h\), তাহলে:

\(PE = 2 \times KE\)

অথবা, \(m g h = 2 \times KE\)

এখানে, \(KE = \frac{1}{2} m v^2\), কিন্তু আমরা সরাসরি উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি, কারণ বিভবশক্তি সরাসরি উচ্চতার উপর নির্ভর করে।

তাই, বিভবশক্তি দ্বিগুণ হলে উচ্চতা হবে:

\(h_{নতুন}\), যেখানে:

\(m g h_{নতুন} = 2 \times PE_{নিচে}\)

অর্থাৎ:

\(h_{নতুন} = \frac{2 \times PE_{নিচে}}{m g}\)

এখানে, \(PE_{নিচে} = 29.003\,J\)

সুতরাং:

\(h_{নতুন} = \frac{2 \times 29.003}{0.2 \times 9.8} = \frac{58.006}{1.96} \approx 29.6\,m\)

তাই, উচ্চতা প্রায় 30 মিটার। তবে, মূল প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, 10 মিটার উচ্চতায় বিভবশক্তি এর দ্বিগুণ হলে:

অর্থাৎ, যদি বিভবশক্??ি \(PE_{উচ্চতা} = 2 \times PE_{নিচে}\), তাহলে:

\(h_{উচ্চতা} = 10\,m\)

অতএব, উত্তর: 10 m