Another Explanation (5):
সমাধান:
আমাদের সমাধান করতে হবে:
$$
\int \frac{\ln(\ln x)}{x} \, dx
$$
ধাপ 1: সাবস্টিটিউশান প্রয়োগ
সাধারণত এই ধরনের ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য, আমরা substitution করব:
$$
t = \ln x
$$
অতএব,
$$
dt = \frac{1}{x} dx
$$
এবং,
$$
dx = x \, dt = e^{t} dt
$$
ধাপ 2: ইন্টিগ্রাল পুনর্লিখন
বিকল্পের মাধ্যমে ইন্টিগ্রালটি লেখি:
$$
\int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \int \ln(t) \, dt
$$
ধাপ 3: ইন্টিগ্রাল সমাধান
এখন, আমাদের সমাধান করতে হবে:
$$
\int \ln(t) \, dt
$$
আমরা জানি যে,
$$
\int \ln(t) \, dt = t \ln t - t + C
$$
ধাপ 4: সাবস্টিটিউশন ফিরে করা
সুতরাং,
$$
t = \ln x
$$
অতএব,
$$
\int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \ln x \cdot \ln(\ln x) - \ln x + C
$$
উপসংহার:
অতএব, সমাধান হলো:
$$
\boxed{
\int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \ln x \cdot |\ln(\ln x)| - \ln x + C
}
$$
যেখানে \( C \) একটি স্থির ধ্রুবক।
