Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি পাথর উঁচু পাহাড়ের চূড়া থেকে নিক্ষেপ করা হয়েছে।
তথ্যসমূহ:
- উচ্চতা, \(h = 60\,m\)
- প্রারম্ভিক বেগ, \(u = 40\,m/s\)
- নিক্ষেপের কোণ, \(\theta = 30^\circ\)
আমরা ধরি:
- ভূপৃষ্ঠের সাথে আনুভূমিক কোণে নিক্ষেপ করা হয়েছে।
- গতি উপাদান:
- আনুভূমিক গতি, \(u_x = u \cos \theta\)
- অক্ষরেখীয় গতি, \(u_y = u \sin \theta\)
### ধাপ 1: উপাদান গুণফল নির্ণয়
\[
u_x = 40 \cos 30^\circ = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} \approx 34.64\,m/s
\]
\[
u_y = 40 \sin 30^\circ = 40 \times \frac{1}{2} = 20\,m/s
\]
### ধাপ 2: সময় নির্ণয়, \(t\), যেখানে পাথর ভূমিতে পড়বে
সময় নির্ণয় করতে হবে যখন পাথর পৃষ্ঠে পৌঁছাবে।
পাথরটি উচ্চতা থেকে শুরু হয়, তাই:
\[
h = u_y t + \frac{1}{2} (-g) t^2
\]
যেখানে, \(g = 9.8\,m/s^2\)
এখানে, উচ্চতা থেকে পাথর পড়ে, তাই:
\[
0 = h + u_y t - \frac{1}{2} g t^2
\]
অথবা:
\[
\frac{1}{2} g t^2 - u_y t - h = 0
\]
সংখ্যামূলক মান দিয়ে সমাধান:
\[
\frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 - 20 t - 60 = 0
\]
\[
4.9 t^2 - 20 t - 60 = 0
\]
এটি একটি পারabolic সমীকরণ। সাধারণ সমাধান সূত্র:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
এখানে, \(a=4.9\), \(b=-20\), \(c=-60\):
\[
t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \times 4.9 \times (-60)}}{2 \times 4.9}
\]
\[
t = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 1176}}{9.8}
\]
\[
t = \frac{20 \pm \sqrt{1576}}{9.8}
\]
\(\sqrt{1576} \approx 39.69\):
অতএব,
\[
t = \frac{20 \pm 39.69}{9.8}
\]
দুটি সমাধান:
1. \(t = \frac{20 + 39.69}{9.8} \approx \frac{59.69}{9.8} \approx 6.09\,s\)
2. \(t = \frac{20 - 39.69}{9.8} \approx \frac{-19.69}{9.8} \approx -2.01\,s\) (অবৈধ, কারণ সময় ঋণাত্মক নয়)
সুতরাং, পাথরটি ভূমিতে পৌঁছায়:
\[
t \approx 6.09\,s
\]
### ধাপ 3: ভূমিতে পৌঁছানোর দূরত্ব নির্ণয়
ভূমিতে দূরত্ব, \(R\):
\[
R = u_x \times t \approx 34.64 \times 6.09 \approx 211.02\,m
\]
### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\boxed{211.02\,m}
\]
