Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্ন: \( (1 - x + x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{13} \)-এর সহগ কত?
আমরা চাই এই রৈখিক বিকরণটির টেইলার বিস্তৃতি নির্ণয় করতে যেখানে:
\[
f(x) = \frac{1}{1 - x + x^2}
\]
প্রথমে লক্ষ্য করি যে, এই ধরনের রৈখিক বিকরণকে সাধারণ রূপে প্রকাশ করতে পারি না সরাসরি। তবে, আমরা এই রৈখিক বিকরণটির জন্য সাধারণত নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করি:
\[
f(x) = \frac{1}{1 - (x - x^2)}
\]
এখানে,
\[
f(x) = \frac{1}{1 - u}, \quad \text{যেখানে} \quad u = x - x^2
\]
এবং এর বিস্তৃতি:
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u^n
\]
অর্থাৎ,
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (x - x^2)^n
\]
এখন, প্রতিটি সাধারণ টার্মে:
\[
(x - x^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} (-x^2)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} (-1)^{n-k} x^{2(n-k)}
\]
একত্র করলে:
\[
(x - x^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} x^{k + 2(n - k)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} x^{2n - k}
\]
অতএব, প্রতিটি টার্মের শক্তি:
\[
x^{2n - k}
\]
এবং সহগ:
\[
\binom{n}{k} (-1)^{n-k}
\]
আমাদের লক্ষ্য \( x^{13} \)-এর সহগ খুঁজে বের করা, অর্থাৎ,
\[
2n - k = 13
\]
এবং,
\[
k \leq n
\]
এখন, \( k \) এর জন্য:
\[
k = 2n - 13
\]
কারণ \( k \geq 0 \), তাহলে:
\[
2n - 13 \geq 0 \Rightarrow 2n \geq 13 \Rightarrow n \geq 7
\]
এছাড়া, \( k \leq n \), অর্থাৎ:
\[
2n - 13 \leq n \Rightarrow 2n - n \leq 13 \Rightarrow n \leq 13
\]
অতএব, \( n \) এর মান হতে হবে:
\[
7 \leq n \leq 13
\]
প্রতিটি মানের জন্য, \( k = 2n - 13 \) হবে এবং সহগ:
\[
\binom{n}{k} (-1)^{n - k}
\]
সুতরাং, \( x^{13} \)-এর সহগ হবে:
\[
\sum_{n=7}^{13} \binom{n}{2n - 13} (-1)^{n - (2n - 13)}
\]
সরলীকরণ:
\[
n - (2n - 13) = n - 2n + 13 = -n + 13
\]
তাই,
\[
\text{সহগ} = \sum_{n=7}^{13} \binom{n}{2n - 13} (-1)^{13 - n}
\]
এখন, প্রতিটি মানের জন্য গণনা করি:
| n | \(k=2n-13\) | \( (-1)^{13 - n} \) | \(\binom{n}{k}\) | সহগ অংশ |
|---|--------------|----------------------|----------------|---------|
| 7 | \(2*7 - 13=14 - 13=1\) | \((-1)^{13-7} = (-1)^6=1\) | \(\binom{7}{1} = 7\) | \(7 \times 1=7\) |
| 8 | \(16-13=3\) | \((-1)^{5} = -1\) | \(\binom{8}{3} = 56\) | \(56 \times (-1) = -56\) |
| 9 | \(18-13=5\) | \((-1)^{4} = 1\) | \(\binom{9}{5} = 126\) | \(126 \times 1=126\) |
| 10 | \(20-13=7\) | \((-1)^{3} = -1\) | \(\binom{10}{7} = 120\) | \(-120\) |
| 11 | \(22-13=9\) | \((-1)^{2} = 1\) | \(\binom{11}{9} = 55\) | \(55\) |
| 12 | \(24-13=11\) | \((-1)^{1} = -1\) | \(\binom{12}{11} = 12\) | \(-12\) |
| 13 | \(26-13=13\) | \((-1)^{0} = 1\) | \(\binom{13}{13} = 1\) | \(1\) |
যোগফল:
\[
7 - 56 + 126 - 120 + 55 - 12 + 1 = (7 - 56) + 126 - 120 + 55 - 12 + 1
\]
\[
= -49 + 126 - 120 + 55 - 12 + 1
\]
\[
= 77 - 120 + 55 - 12 + 1
\]
\[
= -43 + 55 - 12 + 1
\]
\[
= 12 - 12 + 1 = 1
\]
অতএব, \( (1 - x + x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{13} \)-এর সহগ **1**।
উত্তর:
1
