P ও Q বলন্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি যথাক্রমে G=4N L=2N
বৃহত্তম লব্ধি ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি বলম্বয়ের লম্বি 2N হলে, G ও L এর অন্তর্ভুক্ত কোণ কোনটি?x2 +y2 =1
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
- P ও Q বলম্বয়ের বৃহত্তম লম্বি \(G = 4\,N\)
- ক্ষুদ্রতম লম্বি \(L = 2\,N\)
- বলম্বয়ের লম্বি (অর্থাৎ, দিকের কোণ) \(2\,N\)
এখানে, বলম্বয়ের লম্বি বলতে বোঝানো হয় দুই বলম্বয়ের মধ্যে কোণের কোসাইন মানের উপর ভিত্তি করে।
প্রথমত, বলম্বয়ের লম্বি নির্ণয় করতে গেলে, বলম্বয়গুলোকে দুটি ভেক্টর দিয়ে ধরা যায়। ধরা যাক, ভেক্টর \( \vec{P} \) ও \( \vec{Q} \)। এর জন্য:
\[
|\vec{P}| = G = 4\,N
\]
\[
|\vec{Q}| = L = 2\,N
\]
\[
\text{কোণের মান} = \theta
\]
বলম্বয়ের লম্বি বা কোসাইন মান নির্ণয় করতে:
\[
\vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta
\]
এবং বলম্বয়ের লম্বি (বা, বলম্বয়ের মান):
\[
\text{বলম্বয়} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \sin \theta
\]
তবে, এখানে বলম্বয়ের লম্বি (length of the cross product) দিয়ে বোঝানো হচ্ছে:
\[
|\vec{P} \times \vec{Q}| = |\vec{P}| |\vec{Q}| \sin \theta
\]
এবং, বলম্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান হবে:
\[
\text{Maximum} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \quad \text{যখন} \quad \sin \theta = 1
\]
\[
\text{Minimum} = 0 \quad \text{যখন} \quad \sin \theta = 0
\]
তাহলে, বৃহত্তম লম্বি:
\[
G = 4\,N
\]
ক্ষুদ্রতম লম্বি:
\[
L = 2\,N
\]
এবং বলম্বয়ের লম্বি:
\[
2\,N
\]
অর্থাৎ, বলম্বয়ের মান:
\[
|\vec{P} \times \vec{Q}| = |\vec{P}| |\vec{Q}| \sin \theta = 2\,N
\]
এবং, \(|\vec{P}| |\vec{Q}| = 4 \times 2 = 8\)
অতএব,
\[
8 \sin \theta = 2 \Rightarrow \sin \theta = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
অতএব, কোণের মান:
\[
\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)
\]
এখন, বলম্বয়গুলো যদি একই দিক থেকে থাকে বা একে অপরের পরিপূরক হয়, তাহলে কোণের মান:
\[
\theta \quad \text{বা} \quad 180^\circ - \theta
\]
উপরে উল্লেখিত, প্রশ্নে বলেছে যে, বলম্বয়ের লম্বি 2N হলে, তার জন্য অন্তর্ভুক্ত কোণটি কী?
যেহেতু, বলম্বয়ের কোণ \( \theta \), এবং বৃহত্তম কোণটি \(180^\circ\), ক্ষুদ্রতম কোণটি \(0^\circ\), তাহলে:
**অন্তর্ভুক্ত কোণ**:
\[
\boxed{180^\circ}
\]
অর্থাৎ, বলম্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত কোণটি **180°**।
