সমমানের দুটি বলের লব্ধির বর্গ বলদ্বয়ের গুণফলের তিনগুণ। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: সমমানের দুটি বলের লব্ধির বর্গ বলদ্বয়ের গুণফলের তিনগুণ। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

ধরি, দুই বলের লব্ধি \(A\) ও \(B\)। যেহেতু তারা সমমানের, তাই তাদের লব্ধির মান সমান, অর্থাৎ:

\(A = B\)

এখানে, বলদ্বয়ের গুণফল:

\(A \times B = A^2\)

বলা হয়েছে:
"সমমানের দুটি বলের লব্ধির বর্গ বলদ্বয়ের গুণফলের তিনগুণ"। অর্থাৎ,

\(A^2 \times B^2 = 3\)

চूंकि \(A = B\), তাই:

\(A^2 \times A^2 = 3\)

অর্থাৎ,

\(A^4 = 3\)

অথবা,

\(A^2 = \sqrt{3}\)

এখন, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণের জন্য, আমরা সাইন সূত্র ব্যবহার করবো। বলদ্বয়ের লব্ধি \(A\) ও \(B\), এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(θ\)।

দুটি বলের লব্ধির মান সমান, তাই:

\(A = B\)

এবং, বলদ্বয়ের মধ্যে কোণের জন্য, সাইন সূত্রে:

\(\frac{A}{\sin \alpha} = \frac{B}{\sin \beta}\)

তবে, এখানে, বলদ্বয়ের লব্ধি ও বলের সম্পর্কের জন্য, সাধারণত, দুই বলের আকার ও তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর নির্ভর করে, তবে প্রশ্নে বলদ্বয়ের গুণফল ও লব্ধি দেওয়া আছে, যা থেকে আমরা কোণের মান নির্ণয় করতে পারি।

সাধারণত, সমান বলের মধ্যবর্তী কোণ যখন হয়, তখন তারা একটি ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে এই কোণটি হলো ত্রিভুজের ভেতরের কোণ।
তাদের লব্ধি ও গুণফল দিয়ে, আমরা পাই:

\(\cos θ = \frac{A^2 + B^2 - (AB \times 2 \cos θ)}{2AB}\)

কিন্তু, এখানে, সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা যায়ঃ

\(A^2 + B^2 + 2AB \cos θ = (A + B)^2\)

চूंकि \(A = B\), তাহলে:

\(2A^2 + 2A^2 \cos θ = (2A)^2 = 4A^2\)

অর্থাৎ,

\(2A^2 + 2A^2 \cos θ = 4A^2\)

বিভাজ্য:

\(2A^2 (1 + \cos θ) = 4A^2\)

অতএব,

\(1 + \cos θ = 2\)

এবং,

\(\cos θ = 1\)

কিন্তু, এই ফলাফলটি কেবল তখনই মানানসই হয় যখন, কোণ \(θ=0°\) বা \(180°\)। তবে, প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী, এই কোণটি একটি বাস্তব মধ্যবর্তী কোণ। অতএব, অন্য পদ্ধতিতে, এই ধরনের প্রশ্নে সাধারণত, সমাধান হয়ঃ "সমমানের বলের মধ্যবর্তী কোণ" হলো \(60°\), কারণ এটি একটি সাধারণ সমাধান যেখানে বলদ্বয়ের গুণফল ও লব্ধি সম্পর্কিত। অতএব, সঠিক উত্তর হলো:

উত্তর: 60°