x^5/(x^4-81)এর আংশিক ভগ্নাংশ হলো?

Explanation:

Another Explanation (5): আংশিক ভগ্নাংশ নির্ণয়: \( \frac{x^5}{x^4 - 81} \) প্রথমে, লবের ঘাত হরের ঘাত থেকে বড় হওয়ায়, ভাগ করে অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করি: \( x^5 \) কে \( x^4 - 81 \) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল \( x \) এবং ভাগশেষ \( 81x \) থাকে। সুতরাং, \( \frac{x^5}{x^4 - 81} = x + \frac{81x}{x^4 - 81} \) এখন, \( \frac{81x}{x^4 - 81} \) এর আংশিক ভগ্নাংশ বের করতে হবে। \( x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \) ধরি, \( \frac{81x}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3} + \frac{Cx + D}{x^2 + 9} \) উভয় পক্ষে \( (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \) গুণ করে পাই: \( 81x = A(x + 3)(x^2 + 9) + B(x - 3)(x^2 + 9) + (Cx + D)(x - 3)(x + 3) \) এখন, \( x \) এর বিভিন্ন মানের জন্য \( A, B, C, D \) এর মান বের করি। যদি \( x = 3 \) হয়: \( 81(3) = A(3 + 3)(3^2 + 9) \Rightarrow 243 = A(6)(18) \Rightarrow A = \frac{243}{108} = \frac{9}{4} \) যদি \( x = -3 \) হয়: \( 81(-3) = B(-3 - 3)((-3)^2 + 9) \Rightarrow -243 = B(-6)(18) \Rightarrow B = \frac{-243}{-108} = \frac{9}{4} \) এখন, \( 81x = \frac{9}{4}(x + 3)(x^2 + 9) + \frac{9}{4}(x - 3)(x^2 + 9) + (Cx + D)(x^2 - 9) \) \( 81x = \frac{9}{4}(x^3 + 3x^2 + 9x + 27) + \frac{9}{4}(x^3 - 3x^2 + 9x - 27) + Cx^3 + Dx^2 - 9Cx - 9D \) \( 81x = \frac{9}{4}x^3 + \frac{27}{4}x^2 + \frac{81}{4}x + \frac{243}{4} + \frac{9}{4}x^3 - \frac{27}{4}x^2 + \frac{81}{4}x - \frac{243}{4} + Cx^3 + Dx^2 - 9Cx - 9D \) \( 81x = \frac{18}{4}x^3 + \frac{162}{4}x + Cx^3 + Dx^2 - 9Cx - 9D \) \( 81x = \frac{9}{2}x^3 + \frac{81}{2}x + Cx^3 + Dx^2 - 9Cx - 9D \) উভয় পক্ষে \( x^3 \) এবং \( x^2 \) এর সহগ তুলনা করে পাই: \( x^3 \) এর সহগ: \( 0 = \frac{9}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{9}{2} \) \( x^2 \) এর সহগ: \( 0 = D \Rightarrow D = 0 \) সুতরাং, \( \frac{81x}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} = \frac{9/4}{x - 3} + \frac{9/4}{x + 3} + \frac{-9x/2}{x^2 + 9} \) \( \frac{81x}{x^4 - 81} = \frac{9}{4(x - 3)} + \frac{9}{4(x + 3)} - \frac{9x}{2(x^2 + 9)} \) অতএব, \( \frac{x^5}{x^4 - 81} = x + \frac{9}{4(x - 3)} + \frac{9}{4(x + 3)} - \frac{9x}{2(x^2 + 9)} \) এখন, \( \frac{x^5}{x^4-81} = x - \frac{9x}{2(x^2+9)} + \frac{9}{4(x-3)} + \frac{9}{4(x+3)} \) \( = x - \frac{9x}{2(x^2+9)} + \frac{9}{4(x-3)} + \frac{9}{4(x+3)} \) সুতরাং, নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ: \( x - \frac{9x}{2(x^2+9)} + \frac{9}{4(x-3)} + \frac{9}{4(x+3)} \) 🥳🎉