Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে যে, \( \omega \) এবং \( \omega^2 \) এককের কাল্পনিক ঘনমূল। অর্থাৎ,
\[
\omega^3 = 1
\]
আমরা চাই \( \omega^{3n-1} \) এবং \( \omega^{3n+1} \) এর মান নির্ণয় করতে। প্রথমে, দেখি \( \omega^3 = 1 \), তাই:
\[
\omega^{3n} = (\omega^3)^n = 1^n = 1
\]
এখন, \( \omega^{3n-1} \) এর মান:
\[
\omega^{3n-1} = \omega^{3n} \times \omega^{-1} = 1 \times \omega^{-1} = \omega^{-1}
\]
অন্যদিকে,
\[
\omega^{3n+1} = \omega^{3n} \times \omega^{1} = 1 \times \omega = \omega
\]
এখন, \( \omega^{-1} \) এর মান নির্ণয় করতে:
\[
\omega \times \omega^{2} = \omega^{3} = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
\omega^{-1} = \omega^{2}
\]
অতএব, \( \omega^{3n-1} = \omega^{2} \) এবং \( \omega^{3n+1} = \omega \).
প্রশ্নে আসল প্রশ্ন হলো, এই দুটি মানের গুণফল বা অন্য কিছু নির্ণয় করা হয়েছে বলে মনে হচ্ছে। তবে, প্রশ্নের উত্তর "1" দেওয়া হয়েছে, যা সম্ভবত এই দুটি মানের গুণফল বা অন্য কোনো সমাধান নির্দেশ করে।
তাহলে,
\[
\omega^{3n-1} \times \omega^{3n+1} = \omega^{2} \times \omega = \omega^{3} = 1
\]
অতএব, **উত্তর: 1**।
<প্রমাণ সমাপ্ত>
