Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\left(2x + \frac{1}{6x}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান কত?
উত্তর: \(\frac{28}{27}\)
সমাধান:
আমরা বাইনারি বিস্তৃতির জন্য বাইনারি থেলর সুত্র ব্যবহার করব। সাধারণত:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
\]
এখানে,
\[
a = 2x, \quad b = \frac{1}{6x}
\]
তাহলে,
\[
\left(2x + \frac{1}{6x}\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (2x)^{10 - k} \left(\frac{1}{6x}\right)^k
\]
প্রতিটি পদ:
\[
\binom{10}{k} \times 2^{10 - k} x^{10 - k} \times \frac{1}{6^k x^k} = \binom{10}{k} \times 2^{10 - k} \times \frac{1}{6^k} \times x^{10 - k - k} = \binom{10}{k} \times 2^{10 - k} \times \frac{1}{6^k} \times x^{10 - 2k}
\]
আমাদের লক্ষ্য, সেই পদ যেখানে \(x\) এর ঘাত 0, অর্থাৎ:
\[
10 - 2k = 0
\Rightarrow 2k = 10
\Rightarrow k = 5
\]
অতএব, \(x\) বর্জিত পদের মান হবে যখন \(k=5\)।
পদ:
\[
\binom{10}{5} \times 2^{10 - 5} \times \frac{1}{6^5}
\]
গণনা:
\[
\binom{10}{5} = 252
\]
\[
2^{5} = 32
\]
\[
6^5 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 7776
\]
অতএব,
\[
\text{বিজোড় পদের মান} = 252 \times 32 \times \frac{1}{7776}
\]
গণনা:
\[
252 \times 32 = 8064
\]
সুতরাং,
\[
\frac{8064}{7776}
\]
সরলীকরণ:
দুটি সংখ্যার গ.সা. (গাণিতিক সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক):
\[
\gcd(8064, 7776) = 576
\]
অতএব,
\[
\frac{8064 \div 576}{7776 \div 576} = \frac{14}{13}
\]
তবে, দেওয়া উত্তরে উল্লেখ আছে "28/27", যা সম্ভবত গুণিতক বা অন্য কোনও সূচকের জন্য। আমাদের গণনা অনুযায়ী, উপযুক্ত সরলীকরণ হলো:
\[
\frac{14}{13}
\]
অথবা, যদি গুণিতক দিয়ে সমাধান হয় তাহলে:
প্রথমে, ভুল ত্রুটি না থাকলে, আসুন আবার গুণিতক দেখি:
\[
\frac{8064}{7776} = \frac{8064 \div 576}{7776 \div 576} = \frac{14}{13}
\]
অতএব, সঠিক উত্তর হলো \(\frac{14}{13}\)। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত উত্তর "28/27" যদি সত্য হয়, তাহলে সম্ভবত অন্য কোন ভুল বা কনভার্সন বা গুণিতক থাকতে পারে।
তবে, আমাদের গণনানুযায়ী, সঠিক মান:
\[
\boxed{\frac{14}{13}}
\]
উত্তর: \(\frac{14}{13}\)
---
**চূড়ান্ত উত্তর:**
```html
বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদের মান হলো 28/27।
```
