x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0 এবং x^2 + y^2 + 32x + 24y = 0 বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী ও বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারী রেখার উপর লম্বরেখার সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দুটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলো:

\(x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0\)  ...(1)
\(x^2 + y^2 + 32x + 24y = 0\)  ...(2)

প্রথমে, এই বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র ও অক্ষাংশ নির্ণয় করি।

বৃত্ত 1 এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:

\(x^2 - 8x + y^2 - 6y = 0\)

সম্পূরক যোগ করে:

\(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 0 + 16 + 9\)

অর্থাৎ,

\((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\)

অতএব, বৃত্ত 1 এর কেন্দ্র হল \(\mathbf{C_1 = (4, 3)}\), এবং ব্যাসার্ধ হল \(r_1 = 5\).

বৃত্ত 2 এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:

\(x^2 + 32x + y^2 + 24y = 0\)

সম্পূরক যোগ করে:

\(x^2 + 32x + 256 + y^2 + 24y + 144 = 0 + 256 + 144\)

অর্থাৎ,

\((x + 16)^2 + (y + 12)^2 = 400\)

অতএব, বৃত্ত 2 এর কেন্দ্র হল \(\mathbf{C_2 = (-16, -12)}\), এবং ব্যাসার্ধ হল \(r_2 = 20\).

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারীর রেখার সমীকরণ:

প্রথমে, কেন্দ্রসমূহের মধ্যে দূরত্ব:

\(d = \sqrt{(4 - (-16))^2 + (3 - (-12))^2} = \sqrt{(20)^2 + (15)^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\)

যেহেতু দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \(d = 25\), এবং তাদের ব্যাসার্ধ \(r_1 = 5\) ও \(r_2 = 20\), যা যোগফল \(r_1 + r_2 = 25\), অর্থাৎ বৃত্তদ্বয় একে অপরের স্পর্শক। তারা স্পর্শক রেখার উপর রয়েছে। এখন, কেন্দ্র সমূহের সংযোগকারী রেখার সমীকরণ: প্রথম, গুণফল:

\(m = \frac{Y_2 - Y_1}{X_2 - X_1} = \frac{-12 - 3}{-16 - 4} = \frac{-15}{-20} = \frac{3}{4}\)

তাই, রেখার সমীকরণ:

\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\[
y - 3 = \frac{3}{4}(x - 4)
\]
\[
4(y - 3) = 3(x - 4)
\]
\[
4y - 12 = 3x - 12
\]
\[
4y = 3x
\]
অথবা,
\[
\boxed{4x + 3y = 0}
\]

এখানে, কারণ বৃত্তদ্বয় একে অপরের স্পর্শক, সংযোগকারী রেখাটি স্পর্শক রেখার সাথে একই রেখা। অতএব, লম্বরেখার সমীকরণ হল: \(\boxed{4x + 3y = 0}\)