বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে - 

1.  sin^-1 (1/2)  এর মূখ্যমান = 30^o
2. sin^-1x = sec^-1 (1/sqrt(1-x^2))  
3. sin^-1x + cos^-1y = π/2

নিচের কোনটি সঠিক ? 

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

1. sin^-1(1/2) এর মূখ্যমান = 30^o অর্থাৎ, \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \theta\), যেখানে \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) এবং \(\theta\) ৭২ ডিগ্রী থেকে ৯০ ডিগ্রী এর মধ্যে নেওয়া হয়। উপযুক্ত মান: \(\theta = 30^\circ\) তাই, এটি সঠিক।
2. sin^-1x = sec^-1(1/\(\sqrt{1-x^2}\)) এখানে, মনে হয় এই সমীকরণটি একটি পরিচিত সম্পর্কের অংশ। তথ্য অনুযায়ী, \[ \sin^{-1} x = \sec^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \] কিন্তু এটি সত্য নয়, কারণ: \[ \sec^{-1} y = \theta \implies \sec \theta = y \] এবং \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\). যেহেতু, \[ \sec^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \theta \implies \sec \theta = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \] অর্থাৎ, \(\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}\) এবং \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = x\) তাই, \(\sin \theta = x\), অর্থাৎ, \[ \sin^{-1} x = \theta \] এবং, \[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \] অর্থাৎ, \[ \sec^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \theta \] অতএব, এই সমীকরণটি সত্য। তাহলে, বিবৃতি (ii) সঠিক।
3. sin^-1x + cos^-1y = π/2 সাধারণত, \[ \sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2} \] যখন, \(x = y\), তবে সাধারণত, \[ \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \] এবং, যদি \(x = y\), তাহলে এটি সত্য। কিন্তু এখানে, প্রশ্নে \(x\) ও \(y\) আলাদা মানে থাকলে, এই সমীকরণ সব সময় সত্য নয়। তাই, এই বিবৃতি সাধারণত সত্য নয়, যদি না \(x=y\) হয়। অতএব, এটি মূল প্রশ্নে দেওয়া না থাকায়, এটি সঠিক নয়। সুতরাং, এটি সঠিক নয়।

সারসংক্ষেপে:

• বি: \(\sin^{-1} \frac{1}{2} = 30^\circ\) → সঠিক।
• বি: \(\sin^{-1} x = \sec^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)\) → সঠিক।
• বি: \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}\) → সাধারণত নয়, তবে যদি \(x=y\) হয়, তবে সত্য।