Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্ন: \(\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)\)
ধাপ 1: ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্কের ব্যবহার
ধরা যাক,
\[
\theta = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)
\]
অর্থাৎ,
\[
\cot \theta = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\]
ধাপ 2: ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্কের মাধ্যমে \(\tan \theta\) নির্ণয়
\[
\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\]
ধাপ 3: সাইন এবং কোসাইন নির্ণয়
আমরা জানি,
\[
\sin \theta = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{হাইপোটেনুস}} \quad \text{এবং} \quad \cos \theta = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{হাইপোটেনুস}}
\]
তাই,
\[
\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}
\]
এবং,
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}
\]
ধাপ 4: \(\sin \theta\) নির্ণয়
\[
\sin \theta = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)^2}}
= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{1 - x^2}}}
\]
\[
= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}{\sqrt{\frac{1 - x^2 + x^2}{1 - x^2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} = x
\]
ধাপ 5: ফলাফল
অতএব,
\[
\boxed{\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right) = \sin^{-1}(x)}
\]
