\( \sin (2\sin^{-1}x) \) এর মান কোনটি?

প্রশ্নের সমাধান:

আমরা জানতে চাই, \( \sin (2 \sin^{-1} x) \) এর মান।

ধাপ ১: ধরা যাক,

\( \theta = \sin^{-1} x \)। তাহলে,

\( \sin \theta = x \) এবং \( \theta \) এর মান \( -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে।

ধাপ ২: ডাবল অ্যাঙ্গেল সূত্র ব্যবহার করবো:

\( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \)।

ধাপ ৩: \( \sin \theta = x \), তাই,

\( \sin 2\theta = 2 x \cos \theta \)।

ধাপ ৪: এখন, \( \cos \theta \) নির্ণয় করি।

আমরা জানি, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), অতএব,

\( \cos \theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \pm \sqrt{1 - x^2} \)।

কারণ \( \theta \) এর মান \( -\frac{\pi}{2} \) থেকে \( \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে, যেখানে \( \cos \theta \) ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে। তবে, এই সীমায় \( \cos \theta \) ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে, অতএব, আমরা সাধারণত ধনাত্মক ব্যবহার করি।

ধাপ ৫: ফলাফল নির্ণয়:

সুতরাং,

\( \sin (2 \sin^{-1} x) = 2 x \sqrt{1 - x^2} \)।

উত্তর:

\( \boxed{ \sin (2 \sin^{-1} x) = 2 x \sqrt{1 - x^2} } \)