বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন এর ক্ষেত্রে -

1.   sin^-1x+sin^-1y=sin^-1{xsqrt(1-y^2)+ysqrt(1-x^2)} 
   যেখানে – 1 ≤ x, y ≤ 1 এবং x² + y² ≤ 1
2.  cos^-1x+cos^-1y=cos^-1{xy-sqrt((1-x^2)(1-y^2))}  যেখানে – 1 ≤ x, y ≤ 1 এবং x + y ≥ 0
3.  tan^-1x+tan^-1y=tan^-1((x+y)/(1-xy)) 
   যেখানে x > 0, y > 0 এবং 0 ≤ xy ≤ 1

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

প্রতিটি বিবৃতির জন্য আমরা মৌলিক বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সমীকরণগুলি যাচাই করব।

i. সাইন ইনভার্স (sin^-1)

প্রস্তাবিত সমীকরণ:

\[ \sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \sin^{-1}\left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right) \]

এটি একটি পরিচিত সমীকরণ, যেখানে:

\[ \sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \sin^{-1}\left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right) \]

নোট: এই সমীকরণ শুধুমাত্র তখন সত্য যখন, \( -1 \leq x, y \leq 1 \) এবং \( x^2 + y^2 \leq 1 \)।

অর্থাৎ, প্রথম বিবৃতি সঠিক।

ii. কসমিন ইনভার্স (cos^-1)

প্রস্তাবিত সমীকরণ:

\[ \cos^{-1}x + \cos^{-1}y = \cos^{-1}\left( xy - \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \right) \]

এটি একটি পরিচিত সমীকরণ নয়। সাধারণত, আমরা জানি:

\[ \cos^{-1}x + \cos^{-1}y = \pi - \cos^{-1}\left( xy + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \right) \]

অতএব, প্রস্তাবিত সমীকরণটি সঠিক নয়।

iii. ট্যান জিরো ইনভার্স (tan^-1)

প্রস্তাবিত সমীকরণ:

\[ \tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) \]

এটি একটি মৌলিক ট্রিগনোমেট্রিক সম্পর্ক। তবে, এই সমীকরণটি সমানভাবে সঠিক হয় না সব পরিস্থিতিতে।

সাধারণত, এই সম্পর্কটি তখন সত্য, যখন:

\[ - \frac{\pi}{2} < \tan^{-1}x + \tan^{-1}y < \frac{\pi}{2} \]

অর্থাৎ, যখন \( x > 0, y > 0 \) এবং \( xy \leq 1 \), তখন এটি সত্য।

প্রশ্নে উল্লেখিত শর্তাবলী অনুযায়ী, এটি সঠিক।

উপসংহার:

প্রতিটি বিবৃতি যাচাই করে দেখা গেছে:

• i. সঠিক
• ii. অসত্য
• iii. সঠিক

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: i, ii ও iii।