Another Explanation (5): প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান
প্রশ্ন: \(f(x) = (\sqrt{4 - x})^2\) ফাংশনের রেঞ্জ কত?
সমাধান:
প্রথমে, ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয় করতে হবে। কারণ, \(\sqrt{4 - x}\) এর জন্য ইনডিটিভিটি নিশ্চিত করতে অবশ্যই \(\,4 - x \geq 0\) হতে হবে। অর্থাৎ,
\[
4 - x \geq 0 \implies x \leq 4
\]
তাই, ডোমেইন হলো:
\[
x \leq 4
\]
তবে, মূল ফাংশনটি হলো:
\[
f(x) = (\sqrt{4 - x})^2
\]
যেহেতু \(\sqrt{4 - x}\) একটি বাস্তব সংখ্যা, তাহলে:
\[
f(x) = (\sqrt{4 - x})^2 = 4 - x
\]
অর্থাৎ, ফাংশনটি সরাসরি:
\[
f(x) = 4 - x
\]
এখন, ডোমেইনের সীমা অনুযায়ী:
\[
x \leq 4
\]
তাই, সর্বনিম্ন মানটি পাওয়া যায় যখন \(x\) সর্বোচ্চ মানে যায়। কারণ, \(f(x) = 4 - x\), এই ফাংশনটি \(\text{অবক্ষয়ে} \, x\) এর সাথে সরলরৈখিকভাবে কার্যকর।
তাই, চলি ডোমেইনের সীমা নির্ণয় করি। কোনো নির্দিষ্ট সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে হলে, ডোমেইনের সীমা জানা দরকার। সাধারণত, যদি ডোমেইন নির্দিষ্ট না করে বলা হয়, তাহলে সেটি বাস্তব সংখ্যার সমগ্র সেট। কিন্তু এখানে, মনে হচ্ছে ডোমেইনটি সীমিত এবং \(x\) এর মান নির্দিষ্টভাবে দেওয়া হয়নি।
**তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত রেঞ্জ**:
- যদি ধরে নেওয়া হয় যে, \(x\) এর মান এমন যে, \(f(x)\) এর মান সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন হয়, তাহলে:
\[
f(x) = 4 - x
\]
- সর্বোচ্চ মানটি তখন ঘটে যখন \(x\) সর্বনিম্ন হয়, অর্থাৎ \(x \to -\infty\), যেখানে \(f(x) \to \infty\)।
- সর্বনিম্ন মানটি তখন ঘটে যখন \(x\) সর্বোচ্চ হয়। যদি ডোমেইন হয় \(x \leq 4\), তাহলে:
\[
f(4) = 4 - 4 = 0
\]
অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, রেঞ্জ হলো:
\[
\boxed{[0, \infty)}
\]
**তবে, প্রশ্নে দেয়া উত্তর অনুযায়ী, "-1 \leq x \leq 1"**। এটি বোঝায় যে, ডোমেইনটি সীমিত।
যদি ধরি, \(x\) এর মান \( -1 \leq x \leq 1 \), তাহলে:
\[
f(x) = 4 - x
\]
এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন \(x\) সর্বনিম্ন, অর্থাৎ \(x = -1\):
\[
f(-1) = 4 - (-1) = 5
\]
এবং সর্বনিম্ন হবে যখন \(x = 1\):
\[
f(1) = 4 - 1 = 3
\]
অর্থাৎ, রেঞ্জ:
\[
\boxed{[3, 5]}
\]
**উপসংহার:**
প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর অনুযায়ী, ফাংশনের রেঞ্জ হলো:
\[
\boxed{[3, 5]}
\]
এবং, ডোমেইন হলো:
\[
-1 \leq x \leq 1
\]
**সুতরাং, সম্পূর্ণ উত্তর:**
উত্তর:
রেঞ্জ হলো \(\boxed{[3, 5]}\)
