যদি \( \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + \hat{j} \) এবং \( \overrightarrow{AC} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k} \) হয়, তবে AB ও AC কে সন্নিহিত বাহু ধরে অংকিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল-

সমাধান

প্রদত্ত:

• \(\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + \hat{j}\)
• \(\overrightarrow{AC} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}\)

সর্বপ্রথম, AB ও AC এর ভেক্টর গুণফল (ক্রস প্রোডাক্ট) নির্ণয় করি:

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 1 & 0 \\
3 & -1 & 5
\end{vmatrix}
\]

এটি হিসাব করি:

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \hat{i} \times (1 \times 5 - 0 \times (-1)) - \hat{j} \times (2 \times 5 - 0 \times 3) + \hat{k} \times (2 \times (-1) - 1 \times 3)
\]
\[
= \hat{i} \times (5 - 0) - \hat{j} \times (10 - 0) + \hat{k} \times (-2 - 3)
\]
\[
= 5\hat{i} - 10\hat{j} - 5\hat{k}
\]

অতএব, ক্রস প্রোডাক্টের মান:

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 10\hat{j} - 5\hat{k}
\]

নির্ণয় করি এর মাত্রা:


\[
|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 100 + 25} = \sqrt{150}
\]


সাধারণ রূপে:

\[
|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5 \sqrt{6}
\]


এখন, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল:

\[
\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{6} = \boxed{ \frac{5 \sqrt{6}}{2} }
\]


উত্তরঃ
সঠিক সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল: \( 5 \sqrt{6} \)