Another Explanation (5):
প্রশ্ন: কোনাে দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \( \frac{1}{1+i} \) হলে সমীকরণটি হবে-
উত্তর: \( 2x^2 - 2x + 1 = 0 \)
সমাধান:
ধরা যাক, সমীকরণটি হলো:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
যেখানে মূল (root) হলো \( \frac{1}{1+i} \)।
ধাপ ১: মূলের মান নির্ণয়
মূল \( x = \frac{1}{1+i} \)
ধাপ ২: মূলের মানের পরিচিতি
প্রথমে, মূলের মানটি সরল রূপে রূপান্তর করি:
\[
x = \frac{1}{1 + i}
\]
এখানে, ডিনোমিনেটরটি কমপ্লেক্স কনজুগেট দিয়ে গুণ করি:
\[
x = \frac{1}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)}
\]
ধাপ ৩: ডিনোমিনেটরের মান নির্ণয়
\[
(1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2
\]
ধাপ ৪: মূলের মানের সরল রূপ
\[
x = \frac{1 - i}{2}
\]
ধাপ ৫: মূলের মানের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করা
\[
x = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}
\]
অর্থাৎ, মূলের মান হলো:
\[
x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i
\]
ধাপ ৬: মূলের মান দিয়ে দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি
\[
x = \frac{1 - i}{2}
\]
এখন, এই মূল সমীকরণের জন্য, ধরি \( x \) এর জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করি।
চেনার জন্য, প্রথমে মূলের মানের সাথে সম্পর্কিত একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করি। যেহেতু মূল \( x \), আমরা জানি:
\[
x = \frac{1 - i}{2}
\]
এখানে, \( i \) হল কাল্পনিক একক। মূলের মানে \( x \) এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ খুঁজতে পারি:
\[
x = \frac{1 - i}{2}
\]
এখানে, \( i = \sqrt{-1} \), তাই \( i^2 = -1 \)।
অতএব, মূলের মানের উপর ভিত্তি করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করতে হলে, আমরা প্রথমে মূলের মানকে রূপান্তর করি:
\[
x = \frac{1 - i}{2}
\]
এবং, এই মানের উপর ভিত্তি করে সমীকরণ গঠন করি।
অন্যভাবে, যদি ধরি যে, মূল \( x \) হয় এবং এই \( x \) এর জন্য সমীকরণ খুঁজে বের করতে চাই, তাহলে:
\[
x = \frac{1}{1 + i}
\]
এবং, এই মূল দিয়ে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করি।
\[
\text{প্রথমে, } x(1 + i) = 1
\]
\[
\Rightarrow x + xi = 1
\]
এখন, \( i \) এর মান দিয়ে একটি সমীকরণ তৈরি করে, যেখানে \( x \) বাস্তব ভেরিয়েবল।
সাধারণত, যদি \( x \) বাস্তব হয়, তবে:
\[
x = \frac{1}{1 + i}
\]
এবং, এই মূলের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হলো:
\[
2x^2 - 2x + 1 = 0
\]
যা প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে।
সুতরাং, **উত্তর** হলো:
\[
\boxed{2x^2 - 2x + 1 = 0}
\]
