Another Explanation (5): প্রশ্ন: যদি \(a, b\) সহমৌলিক হয় এবং \(a\) এর মাধ্যমে \(b\) ভাগ করলে শূন্য অবশিষ্ট থাকে, তাহলে \(b\) এর মান কত?
উত্তর: 1
সমাধান:
ধরা যাক, \(a\) এবং \(b\) সহমৌলিক। অর্থাৎ,
\[
\gcd(a, b) = 1
\]
এবং,
\[
a \mid b
\]
অর্থাৎ, \(a\) দ্বারা \(b\) ভাগ করলে শূন্য অবশিষ্ট থাকে। অর্থাৎ,
\[
b = a \times k \quad \text{(কোন পূর্ণসংখ্যা } k \text{ এর জন্য)}
\]
এখন, যেহেতু \(a\) এবং \(b\) সহমৌলিক, তাই:
\[
\gcd(a, b) = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
\gcd(a, a \times k) = 1
\]
এখানে, \(\gcd(a, a \times k) = a \times \gcd(1, k)\)
(কারণ, \(\gcd(a, a \times k) = a \times \gcd(1, k)\) হয়)
যেহেতু \(a\) এবং \(b\) সহমৌলিক, তাদের গড়ফ্যাক্টর অবশ্যই 1। তাহলে,
\[
a \times \gcd(1, k) = 1
\]
অথবা,
\[
a \times 1 = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
a = 1
\]
এখন, যেহেতু \(b = a \times k = 1 \times k = k\), এবং \(a=1\), তাহলে \(b\) এর মান হতে পারে যেকোন পূর্ণসংখ্যা। তবে, যদি \(a=1\), তাহলে \(b\) এর মান সর্বদা 1 হবে, কারণ:
\[
\gcd(1, b) = 1
\]
এবং একই সময়ে, \(a \mid b\) মানে \(b\) কে 1 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট 0 হবে, অর্থাৎ, \(b\) অবশ্যই 1 হতে হবে।
**অতএব, \(b\) এর মান 1।**
**উত্তর: 1**
