4x^2 + 4y^2 - 4x - 24y + 17 = 0 বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation: Hints: \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\) এবং ক্ষেত্রফল \(= \pi r^2\) Solve: \(4x^2+4y^2-4x-24y+17=0 \implies x^2+y^2- x-6y+\frac{17}{4}=0\) \(\implies x^2+y^2+2\left(-\frac{1}{2}\right)x+2(-3)y+\frac{17}{4}=0\) \(g = -\frac{1}{2}, f = -3\) এবং \(c = \frac{17}{4}\) ব্যাসার???ধ, \(r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+(-3)^2-\frac{17}{4}}=2.24\) ক্ষেত্রফল \(= \pi (2.24)^2 = 15.76\) Ans. (A) ব্যাখ্যা: প্রথমে বৃত্তের সমীকরণ থেকে \(g, f\) এবং \(c\) এর মান বের করা হয়েছে। g হল \(x\) এর সহগের অর্ধেকের মান, f হল \(y\) এর সহগের অর্ধেকের মান এবং c হল উক্ত সমীকরণের ধ্রুবক। এরপর ক্ষেত্রফলের সূত্রানুযায়ী ক্ষেত্রফলের মান বের করা হয়েছে। এক্ষেত্রে Option এর সাথে solve এর মান সরাসরি না মিললেও কাছাকাছি মানই সঠিক হিসেবে বিবেচিত হবে।

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তের সমীকরণটি হলো: \(4x^2 + 4y^2 - 4x - 24y + 17 = 0\)

প্রথমে, সমীকরণটিকে ৪ দিয়ে ভাগ করি:

\(x^2 + y^2 - x - 6y + \frac{17}{4} = 0\)

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), যেখানে \( (h, k) \) হলো কেন্দ্র এবং \( r \) হলো ব্যাসার্ধ।

প্রদত্ত সমীকরণটিকে এই আকারে আনার জন্য আমরা বর্গCompleting the square করি:

\((x^2 - x) + (y^2 - 6y) = -\frac{17}{4}\)

\((x^2 - x + (\frac{1}{2})^2) + (y^2 - 6y + (3)^2) = -\frac{17}{4} + (\frac{1}{2})^2 + (3)^2\)

\((x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = -\frac{17}{4} + \frac{1}{4} + 9\)

\((x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = -\frac{16}{4} + 9\)

\((x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = -4 + 9\)

\((x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = 5\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (\frac{1}{2}, 3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{5} \)।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( A = \pi r^2 \)।

অতএব, \( A = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \)

\( \pi \approx 3.1416 \) ধরে, ক্ষেত্রফল \( A = 5 \times 3.1416 = 15.708 \)।

সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল প্রায় 15.7 বর্গ একক। 🎉

```