Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত রেডিয়াস সমীকরণ:
\[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \]
প্রথমে, এই সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করি:
\[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \]
এখানে, \( a = 3 \) এবং \( b = 4 \)।
### 1. কেন্দ্র নির্ণয়:
বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য, সমীকরণটি নিম্নরূপ রূপান্তর করি:
\[ r = R \cos (\theta - \alpha) \]
যেখানে,
\[ R = \sqrt{a^2 + b^2} \]
এবং,
\[ \tan \alpha = \frac{b}{a} \]
অতএব,
\[ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ \tan \alpha = \frac{4}{3} \]
তাই,
\[ \alpha = \arctan \left( \frac{4}{3} \right) \]
এখন, সমীকরণটি রূপান্তর করি:
\[ r = R \cos (\theta - \alpha) \]
অর্থাৎ,
\[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \]
বৃত্তের কেন্দ্রের জন্য, Cartesian সমীকরণে রূপান্তর করি:
\[ x = r \cos \theta \]
\[ y = r \sin \theta \]
তাহলে,
\[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \]
\[ r = 5 (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \]
এবং,
\[ r \cos \theta = x \]
\[ r \sin \theta = y \]
তাহলে,
\[ x = 5 (\cos \alpha) \]
\[ y = 5 (\sin \alpha) \]
অতএব, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
\[ \left( x_0, y_0 \right) = 5 (\cos \alpha, \sin \alpha) \]
প্রতিটি মান:
\[ \cos \alpha = \frac{a}{R} = \frac{3}{5} \]
\[ \sin \alpha = \frac{b}{R} = \frac{4}{5} \]
সুতরাং,
\[ x_0 = 5 \times \frac{3}{5} = 3 \]
\[ y_0 = 5 \times \frac{4}{5} = 4 \]
কিন্তু, এই স্থানাঙ্কটি সমীকরণের মূল রূপে ব্যবহৃত হয়। তবে, সাধারণত, এই সমীকরণের কেন্দ্রের সরাসরি রূপ পাওয়া যায়:
\[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \]
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ:
\[ r = R \cos (\theta - \alpha) \]
অথচ, সরাসরি Cartesian রূপে,
\[ x^2 + y^2 - 2x \times \frac{3}{2} - 2 y = 0 \]
উপরে, রূপান্তর করে দেখা যায়:
সাধারণত,
\[ r = a \cos \theta + b \sin \theta \]
এটি সমান হয়:
\[ r = R \cos (\theta - \alpha) \]
এবং, Cartesian রূপে:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \]
যেখানে,
\[ x_0 = R \cos \alpha, \quad y_0 = R \sin \alpha \]
অতএব, কেন্দ্র:
\[ (x_0, y_0) = \left( \frac{a}{1}, \frac{b}{1} \right) \]
তবে, এই বিষয়ে আরও সঠিক বিশ্লেষণে, সমীকরণের রূপান্তর দ্বারা দেখা যায়:
বৃত্তের সমীকরণ:
\[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \]
এটি রূপান্তর করলে:
\[ r = R \cos (\theta - \alpha) \]
যেখানে,
\[ R = 5 \]
\[ \cos \alpha = \frac{3}{5} \]
\[ \sin \alpha = \frac{4}{5} \]
তাই, Cartesian সমীকরণে:
\[ x = r \cos \theta \]
\[ y = r \sin \theta \]
এবং,
\[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \]
অর্থাৎ,
\[ r = 5 \left( \frac{3}{5} \cos \theta + \frac{4}{5} \sin \theta \right) \]
\[ r = 5 \left( \cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta \right) \]
\[ r = 5 \cos (\theta - \alpha) \]
এখন,
\[ x = r \cos \theta = 5 \cos (\theta - \alpha) \cos \theta \]
\[ y = r \sin \theta = 5 \cos (\theta - \alpha) \sin \theta \]
পরিবর্তে, Cartesian সমীকরণে রূপান্তর করতে:
\[ r^2 = x^2 + y^2 \]
\[ r \cos \theta = x \]
\[ r \sin \theta = y \]
সুতরাং,
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\[ \cos \theta = \frac{x}{r} \]
\[ \sin \theta = \frac{y}{r} \]
সমীকরণ:
\[ r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \]
এতে,
\[ r = 3 \frac{x}{r} + 4 \frac{y}{r} \]
\[ r^2 = 3x + 4y \]
\[ x^2 + y^2 = 3x + 4y \]
অতএব, এই সমীকরণের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
\[ x^2 - 3x + y^2 - 4y = 0 \]
সম্পূর্ণ করে:
\[ (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + (y^2 - 4y + 4) = \frac{9}{4} + 4 \]
\[ (x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} \]
অতএব, কেন্দ্র:
\[ \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \]
বৃত্তের ব্যাসার্ধ:
\[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \]
### ২. খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য:
খণ্ডিত অংশের আর্চের দৈর্ঘ্য:
\[ L = r \theta \]
যেখানে, \(\theta\) হলো সেই কোণ যা থেকে খণ্ডিত অংশটি হয়।
এখানে, সমীকরণ \( r = 3 \cos \theta + 4 \sin \theta \) এর জন্য, সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি:
\[ r_{\max} = R = 5 \]
\[ r_{\min} = -R = -5 \]
সাধারণত, এই ধরনের সমীকরণের জন্য, খণ্ডিত অংশের কোণীয় দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হয়। কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে, খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \( 2 \sqrt{2} \)।
প্রতিটি আর্চের দৈর্ঘ্য:
\[ L = R \times \Delta \theta \]
এখানে, খণ্ডিত অংশের কোণ:
\[ \theta \] এর জন্য নির্দিষ্ট মানে, এই সমীকরণের আর্চের দৈর্ঘ্য:
\[ L = 2 \sqrt{2} \]
### **উপসংহার:**
প্রদত্ত তিনটি দিকের মধ্যে:
- **i. কেন্দ্র (3/2, 2)** ✓ (সঠিক)
- **ii. ব্যাসার্ধ = 5/2** ✓ (সঠিক)
- **iii. খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য = 2√2** ✓ (সঠিক)
অতএব, **উত্তর: "i ও ii"**।
**উত্তর:**
```html
উত্তর: "i ও ii"
```
