Another Explanation (5):
প্রশ্ন: r = a cos θ বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?
প্রথমে, আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হলো:
\[ r = a \cos \theta \]
এটি পোলার সমীকরণ, যেখানে \(r\) হলো দূরত্ব ও \(\theta\) হলো কোণ।
সমাধান:
- আমরা জানি যে, পোলার সমীকরণে যদি \[ r = a \cos \theta \], তবে এটি একটি ডানদিকের অ্যামবোলের প্রতিনিধিত্ব করে।
- এই ধরনের সমীকরণের কেন্দ্র নির্ণয় করতে, আমরা Cartesian সমীকরণে রূপান্তর করব।
- প্রথমে, পোলার থেকে Cartesian রূপান্তর সূত্রাবলি:
- \[ x = r \cos \theta \]
- \[ y = r \sin \theta \]
- দেওয়া সমীকরণে, যদি \( r = a \cos \theta \), তাহলে,
\[
r = a \frac{x}{r}
\]
অর্থাৎ,
\[
r^2 = a x
\]
এবং, জানি যে,
\[
r^2 = x^2 + y^2
\]
অতএব,
\[
x^2 + y^2 = a x
\]
- উপরের সমীকরণটি সম্পূর্ণবর্গ করে লিখলে:
\[
x^2 - a x + y^2 = 0
\]
এখন, (x এর জন্য) সম্পূর্ণবর্গ করুন:
\[
x^2 - a x + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
অর্থাৎ,
\[
\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
উপসংহার:
এটি একটি কেন্দ্রবিন্দু \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\) এবং রেডিয়াস \(\frac{a}{2}\) বৃত্তের সমীকরণ।
অতএব, উত্তর:
বৃত্তের কেন্দ্র: \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
