r = 2 cosθ পোলার সমীকরণটি নির্দেশ করে—

প্রশ্ন: \( r = 2 \cos \theta \) পোলার সমীকরণটি নির্দেশ করে—

উত্তর:

এই পোলার সমীকরণটি একটি বৃত্তের প্রতিনিধিত্ব করে। আসুন এটি বিস্তারিতভাবে সমাধান করি।

সমাধান:

1. প্রথমত, পোলার সমীকরণটি হলো:

   \( r = 2 \cos \theta \)

2. আমরা এটিকে কার্তেসিয়ান সমীকরণে রূপান্তর করলে, যেখানে:

   \( x = r \cos \theta \) এবং \( y = r \sin \theta \)

3. প্রথমে, \( r = 2 \cos \theta \) থেকে:

    \( r = 2 \frac{x}{r} \) কারণ \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)

4. এখানে, উভয় পাশে গুণ করে:

    \( r^2 = 2x \)

5. অথবা, যেখানে \( r^2 = x^2 + y^2 \), অর্থাৎ:

    \( x^2 + y^2 = 2x \)

6. এখন, এই সমীকরণটিকে সম্পূর্ণ বৃত্তের আকারে রূপান্তর করি:

    \( x^2 - 2x + y^2 = 0 \)

7. সম্পূর্ণ করে, আমরা পাই:

    \( (x - 1)^2 + y^2 = 1 \)

উপসংহার:

এটি একটি কেন্দ্রবিন্দুতে \((1, 0)\) অবস্থিত এবং ধারের দৈর্ঘ্য 1 এর বৃত্ত। অতএব, সমীকরণটি নির্দেশ করে একটি বৃত্ত।