x = root(3)(1) সমীকরণের মূল তিনটির যোগফল কত?
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x = \sqrt[3]{1}\) সমীকরণের মূল তিনটির যোগফল কত?
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি লিখি:
\[ x = \sqrt[3]{1} \]
এটি বোঝাচ্ছে যে,
\[ x^3 = 1 \]
এই সমীকরণের মূলগুলি খুঁজে বের করতে হলে, আমরা মূল সমীকরণটি বিবেচনা করব:
\[ x^3 - 1 = 0 \]
এটি একটি মানদণ্ড বিভাজ্য সমীকরণ, যা আমরা ফলন করে লিখতে পারি:
\[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \]
অতএব, মূলগুলি হল:
1. \( x = 1 \)
2. \( x^2 + x + 1 = 0 \)
এখন, দ্বিতীয় সমীকরণের মূলগুলি খুঁজে বের করি:
\[
x^2 + x + 1 = 0
\]
ডেল্টা মূল্য নির্ণয় করি:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
\]
কারণ ডেল্টা ঋণাত্মক, এই সমীকরণের মূলগুলি জটিল সংখ্যা হবে। মূলগুলি হলো:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]
অর্থাৎ, এই দুটি মূল হলো:
\[
x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{এবং} \quad x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]
সুতরাং, সমাধানের মূলগুলি হল:
\[
x_1 = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}
\]
\[
x_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]
মূলগুলির যোগফল:
\[
x_1 + x_2 + x_3 = 1 + \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} + \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]
সমানভাবে সমাধান করি:
\[
= 1 + \left( \frac{-1 + i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}}{2} \right)
\]
\[
= 1 + \left( \frac{-1 - 1 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3}}{2} \right)
\]
\[
= 1 + \left( \frac{-2 + 0}{2} \right)
\]
\[
= 1 + (-1) = 0
\]
অতএব, মূল তিনটির যোগফল হলো:
\[
\boxed{0}
\]
