x³-5x²+17x-13=0 সমীকরনের একটি মুল 1 হলে অপর মুলদ্বয় কোনটি? 

প্রশ্নঃ

সমীকরণ: \(x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0\), এর একটি মূল \(x=1\) হলে অপর মূলদ্বয় কোনটি?

সমাধান:

প্রথমে, সমীকরণে \(x=1\) বসিয়ে মূলটি যাচাই করি:

\(P(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 17(1) - 13 = 1 - 5 + 17 - 13 = 0\)

অর্থাৎ, \(x=1\) সত্যিই সমীকরণের একটি মূল।

অপর মূলদ্বয় নির্ণয়:

সমীকরণটি একটি তিনমুখী ( cubic ) সমীকরণ, এবং এর মূলদ্বয় হলো:

• একটি মূল \(x=1\)
• অপর দুইটি মূলদ্বয় \(r\) এবং \(s\)

সংখ্যাতত্ত্বের সূত্র:

কোডাক্যুলাসের মূলদ্বয় সম্পর্ক:

• \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলদ্বয়:
  • মূল্যসমূহের যোগফল: \(-a\)
  • গুণফল: \(-c\)

সমীকরণের মূলদ্বয় সম্পর্ক:

সমীকরণে, \(x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0\), এর মূলদ্বয় হলো:

• যোগফল: \(-\text{coefficient of } x^2 = 5\)
• গুণফল: \(-\text{constant term} = 13\)

মূলদ্বয় \((1, r, s)\) এর জন্য:

তাহলে, মূলদ্বয় সম্পর্ক:

• \(1 + r + s = 5\) → \(r + s = 4\)
• \(1 \times r \times s = -(-13) = 13\) → \(r s = 13\)

অপর দুইটি মূলদ্বয় \(r\) এবং \(s\) এর জন্য:

তাদের সমাধান করতে পারি:

\(r + s = 4\)

\(r s = 13\)

প্রতুল সমাধান:

এটি একটি দ্বিগুণ সমীকরণ, যেখানে \(r\) এবং \(s\) হলো মূলসমূহ।

এদের জন্য দ্বিগুণ সমীকরণ লিখি:

\(t^2 - (r + s)t + r s = 0\)

অর্থাৎ,

\(t^2 - 4t + 13 = 0\)

সমাধান:

এই সমীকরণের মূলগুলো হবে:

\(t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 13}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}\)

এখানে,

\(t = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\)

অতএব, অপর মূলদ্বয় হলো:

\(2 - 3i\) এবং \(2 + 3i\)

উত্তরঃ

অপর দুইটি মূলদ্বয় হলো: 2 - 3i এবং 2 + 3i