Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ:
\[
2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0
\]
প্রদত্ত যে \( x = 1 \) এবং \( x = -1 \) সমীকরণের শিক, সুতরাং এগুলি সমীকরণের মূল।
সুতরাং, \(\text{সমীকরণের মূল} \) গুণফল হবে:
\[
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
\]
এখন, মূল সমীকরণটি কে \( (x^2 - 1) \) দ্বারা ভাগ করলে, ভাগফল হবে দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি পলিনোমিয়াল।
আসুন, \( 2x^3 - x^2 - 2x + 1 \) কে \( x^2 - 1 \) দ্বারা ভাগ করি:
ডিভিশন চালাই:
\[
\frac{2x^3 - x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}
\]
প্রথমে, \( 2x^3 \) কে \( x^2 \) দিয়ে ভাগ করি:
\[
\frac{2x^3}{x^2} = 2x
\]
মাল্টিপ্লাই করি:
\[
2x \times (x^2 - 1) = 2x^3 - 2x
\]
বিয়োগ করি:
\[
(2x^3 - x^2 - 2x + 1) - (2x^3 - 2x) = -x^2 + 1
\]
এখন, ভাগফল এর পরিমাণ \( 2x \), এবং অবশিষ্টাংশ \( -x^2 + 1 \)।
দ্বিতীয় ডিগ্রির পলিনোমিয়ালকে আবার \( -x^2 + 1 \) দিয়ে ভাগ করি:
\[
\frac{-x^2 + 1}{x^2 - 1}
\]
এখানে, লক্ষ্য:
\[
-x^2 + 1 = - (x^2 - 1)
\]
অর্থাৎ, এটি একে-ই সমান \( -1 \) গুণে \( x^2 - 1 \)।
অতএব, সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[
2x + (-1) = \frac{2x^3 - x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}
\]
এটি শূন্য হওয়ার জন্য, numerator টি শূন্য হওয়া ???রকার, অর্থাৎ:
\[
2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0
\]
অথবা, সমীকরণের মূলগুলো হলো \( x=1 \), \( x=-1 \) (প্রমাণিত হয়েছে), এবং অবশিষ্ট মূলটি খুঁজতে হবে।
এখন, মূলগুলো \( x=1 \) এবং \( x=-1 \) থাকলে, সমীকরণের মূলগুলো:
\[
\text{সমীকরণের মূলগুলো}: (x - 1)(x + 1)(\text{অপর মূল}) = 0
\]
অতএব, সমীকরণটির পার্শ্ববর্গ হচ্ছে:
\[
2x^3 - x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x + 1)(ax + b)
\]
আমরা জানি, \( (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \)
এবং, সম??করণটি এর সাথে এমন একটি প্রথম ডিগ্রি পলিনোমিয়াল \( (ax + b) \) দ্বারা গুণফল।
এখন, মূল সমীকরণটি আবার লিখি:
\[
2x^3 - x^2 - 2x + 1
\]
এবং এই সমীকরণটির মূলগুলো হলো \( x=1 \), \( x=-1 \), এবং অপরটি \( x = \frac{1}{2} \) (??ত্তর থেকে জানা)।
অতএব, মূলগুলো অনুসারে, সমীকরণটির মূলের যোগফল:
\[
1 + (-1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]
অন্যদিকে, কোটিশিয়েন্টের মান হচ্ছে সমীকরণের মূলের গুণফল (by Vieta's সূত্র):
\[
\text{মূলের গুণফল} = \frac{\text{প্রথম ধাপের মূলের গুণফল}}{\text{নিয়মের শীর্ষ কোঅফিশিয়েন্ট}} = \frac{(-1)^3 \times \text{কোঅফিশিয়েন্ট}}{আসল কোঅফিশিয়েন্ট}
\]
তবে, সরাসরি সাধারণ ভিত্তিতে, সমীকরণের মূলগুলো হলো \( 1, -1, \frac{1}{2} \)।
সুতরাং, অপর মূলটি হলো:
\[
x = \frac{1}{2}
\]
**উত্তর: \(\boxed{\frac{1}{2}}\)**
