^n-1P₃ : ⁿ⁺¹P₃ = 5:12 হলে n এর মান

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\frac{{{}^{n-1}P_3}}{{{}^{n+1}P_3}} = \frac{5}{12}\) হলে \(n\) এর মান নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে, পারমুটেশনের সূত্র অনুযায়ী, \[ {}^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!} \] অর্থাৎ, \[ {}^{n-1} P_3 = \frac{(n-1)!}{(n-1-3)!} = \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \] এবং, \[ {}^{n+1} P_3 = \frac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{(n-2)!} \] অতএব, \[ \frac{{}^{n-1} P_3}{{}^{n+1} P_3} = \frac{\frac{(n-1)!}{(n-4)!}}{\frac{(n+1)!}{(n-2)!}} = \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-2)!}{(n+1)!} \] এখন, সামান্য সরলীকরণ করি: \[ = \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-2)!}{(n+1)!} \] \[ = \left[ (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)! \right] / (n-4)! \times \left[ (n-2)(n-3)(n-4)! \right] / \left[ (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)! \right] \] অথবা, সরলীকরণ করছি: \[ = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(n+1)n(n-1)} \] কারণ, \((n-4)!\) কেটেছে। এখন, \[ = \frac{(n-2)(n-3)}{(n+1)n} \] প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী, \[ \frac{(n-2)(n-3)}{(n+1)n} = \frac{5}{12} \] উভয় পাশে সমানুপাত সূত্র অনুযায়ী, \[ 12 \times (n-2)(n-3) = 5 \times n(n+1) \] বিঃদ্রঃ, এখন সমীকরণটি সমাধান করি: \[ 12(n-2)(n-3) = 5n(n+1) \] প্রথমে, বর্গফলগুলি বিস্তার করি: \[ 12(n^2 - 5n + 6) = 5(n^2 + n) \] বিস্তৃত করি: \[ 12n^2 - 60n + 72 = 5n^2 + 5n \] সবগুলো টার্ম এক পাশে নিয়ে আসি: \[ 12n^2 - 5n^2 - 60n - 5n + 72 = 0 \] সরলীকরণ করি: \[ 7n^2 - 65n + 72 = 0 \] এখন, এই দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ সমাধান করি: \[ 7n^2 - 65n + 72 = 0 \] ডিসক্রিমিনেন্ট: \[ D = (-65)^2 - 4 \times 7 \times 72 = 4225 - 2016 = 2209 \] যা হলো: \[ \sqrt{2209} = 47 \] অতএব, \[ n = \frac{65 \pm 47}{2 \times 7} = \frac{65 \pm 47}{14} \] দুটি সমাধান: 1. \( n = \frac{65 + 47}{14} = \frac{112}{14} = 8 \) 2. \( n = \frac{65 - 47}{14} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7} \) কিন্তু, কারণ \(n\) পারমুটেশনের জন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হওয়া উচিত, তাই শুধুমাত্র: \[ n = 8 \] উত্তর: \(\boxed{8}\)