intcos^2(3x)dx=?  

প্রশ্ন: \(\int \cos^2(3x) \, dx\) = ?

উত্তর: \(\frac{1}{12} (6x + \sin 6x) + c\)

সমাধান:

1. প্রথমে, আমরা \(\cos^2(3x)\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণটি ব্যবহার করব:
2. \(\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\)
3. অর্থাৎ, \(\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos 6x}{2}\)
4. এখন, ইনটিগ্রালটি লেখব:
\[ \int \cos^2(3x) \, dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} \, dx \]
5. এটি বিভক্ত করা যাবে:
\[ = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x \, dx \]
6. প্রথম ইনটিগ্রালটি সহজ:
\[ \frac{1}{2} \times x \]
7. দ্বিতীয় ইনটিগ্রালটি সমাধান করতে, আমরা substitution করব:

u = 6x
du = 6 dx
=> dx = \frac{du}{6}

8. অতএব,
\[ \frac{1}{2} \int \cos u \times \frac{du}{6} = \frac{1}{12} \int \cos u \, du \]
9. এটি সমাধান:
\[ \frac{1}{12} \sin u + C \]
10. substituting back:
\[ \frac{1}{12} \sin 6x \]
11. অতএব, সমাধান হল:
\[ \int \cos^2(3x) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} \sin 6x + C \]
12. যা সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে লেখা যায়:
\[ \boxed{\frac{1}{12}(6x + \sin 6x) + C} \]