মান নির্ণয় করঃ \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx \)

দেওয়া আছে, \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx \)

আমরা \( \ln x = u \) ধরি। তাহলে, \( \frac{1}{x} dx = du \) হবে।

এখন, যখন \( x = 1 \), তখন \( u = \ln 1 = 0 \) এবং যখন \( x = 3 \), তখন \( u = \ln 3 \)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: \( \int_{0}^{\ln 3} \cos(u) du \)

আমরা জানি, \( \int \cos(u) du = \sin(u) + C \)

অতএব, \( \int_{0}^{\ln 3} \cos(u) du = [\sin(u)]_{0}^{\ln 3} \)

এখন, আপার লিমিট এবং লোয়ার লিমিট বসিয়ে পাই: \( \sin(\ln 3) - \sin(0) = \sin(\ln 3) - 0 = \sin(\ln 3) \)

সুতরাং, \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cos(\ln x) dx = \sin(\ln 3) \) 🥳