যদি z=x+iy, z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂ তিনটি জটিল সংখ্যা হয়, তবে –

1. Re(z)≤|z|
2. arg(z₁z₂)≤argz₁+argz₂
3. |z₁−z₂|≥|z₁|−|z₂|

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন:

যদি \(z = x + iy\), \(z_1 = x_1 + iy_1\), \(z_2 = x_2 + iy_2\) তিনটি জটিল সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

1. \(\operatorname{Re}(z) \leq |z|\)
2. \(\arg(z_1 z_2) \leq \arg z_1 + \arg z_2\)
3. \(|z_1 - z_2| \geq \left| |z_1| - |z_2| \right|\)

উত্তর: "i ও iii"

সমাধান:

(i) \(\operatorname{Re}(z) \leq |z|\)

\(\operatorname{Re}(z) = x\)

\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

তাহলে, \(x \leq \sqrt{x^2 + y^2}\)

সুতরাং, এটি সত্য হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি \(x \leq 0\) বা অন্যথায়। তবে সাধারণভাবে, \(x\) এর মান যতই থাকুক না কেন, \(\sqrt{x^2 + y^2} \geq |x|\), তাই \(\operatorname{Re}(z) \leq |z|\) সর্বদা সত্য।

(ii) \(\arg(z_1 z_2) \leq \arg z_1 + \arg z_2\)

\(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\) (যদি দুটির অর্গম যথাযথভাবে বিবেচনা করা হয়)

অর্থাৎ, এটি সাধারণত সমান হয়, কেবলমাত্র যদি দুইটি জটিল সংখ্যা ঋণাত্মক বা অনির্দিষ্ট অংকের মধ্যে না পড়ে। তবে, সাধারণত, \(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\), তাই এটি সর্বদা সত্য নয় যে \(\arg(z_1 z_2) \leq \arg z_1 + \arg z_2\)।

অতএব, এটি সর্বদা সত্য নয়।

(iii) \(|z_1 - z_2| \geq \left| |z_1| - |z_2| \right|\)

এটি একটি মানদণ্ডের মূল তত্ত্ব, যা বলে:

\(|z_1 - z_2| \geq \left| |z_1| - |z_2| \right|\)

এটি মূলত ট্রায়াঙ্গুলার ইশ্বরের সূত্র থেকে প্রমাণিত।

প্রমাণের জন্য, ধরা যাক \(z_1, z_2\) এর জন্য:

\(|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2\)

এবং, \(|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\), \(|z_2| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\)

অথবা, মূল তত্ত্ব অনুযায়ী, এটি সত্য যে:

\(|z_1 - z_2| \geq \left| |z_1| - |z_2| \right|\)

অর্থাৎ, এটি সর্বদা সত্য।

উপসংহার:

অতএব, উপরের তিনটি বিবৃতি থেকে (i) ও (iii) সঠিক।

সুতরাং, উত্তর: i ও iii