x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 বক্ররেখার (-1,1) বিন্দুতে স্পর্শশকের ঢাল কত?

Explanation: Hints: কোনো বক্ররেখার কোনো বিন্দুতে তাল হচ্ছে ঐ রেখার ঐ বিন্দুতে অন্তর্ক সহগ। Solve: \(x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তর্গীকরণ করে, \(2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 = 0 \implies y \frac{dy}{dx} = 1-x\) \(\implies \frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y} \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1,1)} = \frac{1-(-1)}{1} = \frac{2}{1} = 2\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: প্রথমে বক্ররেখাটিকে অন্তর্গীকরণ করার পরে উৎপন্ন বিন্দুর মান বসানো হয়েছে। কারণ, \((-1,1)\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির \(\frac{dy}{dx}\)-ই হচ্ছে ঐ বিন্দুতে আপর্শকের তাল।

Another Explanation (5): ```html

স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়

প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \)

\( (-1, 1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে, প্রথমে আমাদের বক্ররেখাটির অন্তরকলন করতে হবে।

অন্তরকলন

উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই:

\( \frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 2x - 3) = \frac{d}{dx}(0) \) \( \Rightarrow 2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 = 0 \)

\( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয়

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান বের করি:

\( 2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x \) \( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{2y} \) \( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{y} \)

\( (-1, 1) \) বিন্দুতে ঢাল

\( (-1, 1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল হবে:

\( \frac{dy}{dx} | _{(-1,1)} = \frac{1 - (-1)}{1} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2 \)

অতএব, \( x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0 \) বক্ররেখার \( (-1, 1) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( 2 \)।

✅উত্তর: 2

```