কোনো তেজস্ক্রিয় মৌলের প্রাথমিক পরমাণুর সংখ্যা N_o । কত সময় পর N সংখ্যক পরমাণু অবশিষ্ট থাকবে?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে যে, কোনো তেজস্ক্রিয় মৌলের প্রাথমিক পরমাণুর সংখ্যা \(N_0\)। এবং এটি জানতে চাওয়া হয়েছে কত সময় পরে মোট পরমাণুর সংখ্যা \(N\) থাকবে। প্রতিরোধের নিয়ম অনুযায়ী, তেজস্ক্রিয় মৌলের পরমাণু সংখ্যা সময়ের সাথে হ্রাস পায় এক্সপোনেনশিয়ালভাবে। এর সমীকরণ হচ্ছে: \[ N = N_0 e^{-\lambda t} \] যেখানে: - \(N_0\) = প্রাথমিক পরমাণুর সংখ্যা - \(N\) = সময়ে অবশিষ্ট পরমাণুর সংখ্যা - \(\lambda\) = অর্ধ-জীবনের হার বা ভাঙ্গনের হার - \(t\) = সময় আমরা এই সমীকরণ থেকে \(t\) নির্ণয় করব: \[ \begin{aligned} N &= N_0 e^{-\lambda t} \\ \Rightarrow \frac{N}{N_0} &= e^{-\lambda t} \\ \Rightarrow \ln \left( \frac{N}{N_0} \right) &= -\lambda t \\ \Rightarrow t &= -\frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N}{N_0} \right) \end{aligned} \] এখানে, উপরের সমীকরণে \(\frac{N}{N_0}\) অংশটি দিয়ে লেখা যেতে পারে: \[ t = -\frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N}{N_0} \right) \] অথবা, সমীকরণটি আরও সাধারণভাবে লেখা যায়: \[ t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( -\frac{N}{N_0} \right) \] তবে, যেহেতু লোগারিদমের ভিতরে নেতিবাচক মান আসছে না, তাই মূল সমীকরণটি হলো: t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N_0}{N} \right) অর্থাৎ, একটি সাধারণ এবং পরিষ্কার সমাধান হলো: t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N_0}{N} \right)