\( x - y + 2 = 0 \) এবং \( y = x^2 \) দ্বারা পরিবেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে-

ক্ষেত্রফল নির্ণয়

দেওয়া আছে, \( x - y + 2 = 0 \) এবং \( y = x^2 \) এই দুইটি সমীকরণ দ্বারা পরিবেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, সরলরেখাটির সমীকরণ থেকে \( y \) এর মান বের করি: \( y = x + 2 \)

এখন, \( y = x^2 \) এবং \( y = x + 2 \) এই দুইটি সমীকরণ সমাধান করে ছেদ বিন্দুগুলো বের করতে হবে।

সুতরাং, \( x^2 = x + 2 \) বা, \( x^2 - x - 2 = 0 \) বা, \( (x - 2)(x + 1) = 0 \) সুতরাং, \( x = 2, -1 \)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো \( (2, 4) \) এবং \( (-1, 1) \) ।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে: ক্ষেত্রফল \( = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx \)

\( = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \)

\( = \left( \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \)

\( = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \)

\( = 6 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \)

\( = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} \)

\( = 8 - 3 - \frac{1}{2} \)

\( = 5 - \frac{1}{2} \)

\( = \frac{10 - 1}{2} \)

\( = \frac{9}{2} = 4.5 \) বর্গ একক। 🥳🎉

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \( \frac{9}{2} \) বর্গ একক।🤔