\(y=x^{2/3}\ln{x}\) বক্ররেখার প্রথম চতুর্থাংশে x=8 রেখার সাথে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation: Solve: \( \text{Area} = \int_{1}^{8} y dx = \int_{1}^{8} x^{2/3} \ln x \, dx \) Here, \( \int \ln x \cdot x^{2/3} dx = \ln x \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - \int \frac{d}{dx}(\ln x) \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} dx \) \(\implies \ln x \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} dx = \frac{3}{5} x^{5/3} \ln x - \frac{3}{5} \int x^{2/3} dx\) \(\therefore \text{Area} = \frac{9}{25} \left[ x^{5/3} \left(\frac{5}{3} \ln x - 1\right) \right]_1^8 = \frac{9}{25} [160 \ln 2 - 32 + 1] = \frac{9}{25} (160 \ln 2 - 31)\) Ans. (A)

Another Explanation (5): ```html

ক্ষেত্রফল নির্ণয়: \(y=x^{2/3}\ln{x}\)

প্রদত্ত বক্ররেখা: \(y=x^{2/3}\ln{x}\)

সীমানা: প্রথম চতুর্থাংশ এবং \(x=8\) রেখা।

ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন করতে হবে:

\(A = \int_{1}^{8} x^{2/3} \ln{x} \, dx\)

এখানে, \(u = \ln{x}\) এবং \(dv = x^{2/3} dx\) ধরে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি।

তাহলে, \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = \int x^{2/3} dx = \frac{3}{5}x^{5/3}\)

এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র ব্যবহার করে:

\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

\(A = \left[ \frac{3}{5}x^{5/3} \ln{x} \right]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{3}{5}x^{5/3} \cdot \frac{1}{x} \, dx\)

\(A = \frac{3}{5} \left[ x^{5/3} \ln{x} \right]_{1}^{8} - \frac{3}{5} \int_{1}^{8} x^{2/3} \, dx\)

\(A = \frac{3}{5} \left[ 8^{5/3} \ln{8} - 1^{5/3} \ln{1} \right] - \frac{3}{5} \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8}\)

\(A = \frac{3}{5} \left[ (2^3)^{5/3} \ln{(2^3)} - 0 \right] - \frac{9}{25} \left[ x^{5/3} \right]_{1}^{8}\)

\(A = \frac{3}{5} \left[ 2^5 \cdot 3\ln{2} \right] - \frac{9}{25} \left[ 8^{5/3} - 1^{5/3} \right]\)

\(A = \frac{3}{5} \left[ 32 \cdot 3\ln{2} \right] - \frac{9}{25} \left[ 32 - 1 \right]\)

\(A = \frac{288}{5} \ln{2} - \frac{9}{25} \cdot 31\)

\(A = \frac{288}{5} \ln{2} - \frac{279}{25}\)

\(A = \frac{1}{25} (1440 \ln{2} - 279)\)

যদি ইন্টিগ্রেশনের নিম্নসীমা \(x=1\) এর পরিবর্তে \(x=0\) হয়, তবে অসংজ্ঞায়িত হওয়ার কারণে সরাসরি ইন্টিগ্রেশন করা সম্ভব নয়। এক্ষেত্রে, প্রদত্ত উত্তরটি সম্ভবত \(x=1\) থেকে \(x=8\) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশন করে পাওয়া।

এখন, প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, আমরা \(\frac{9}{25}\) কমন নিতে পারি:

\(A = \frac{9}{25} \left( \frac{288}{5} \cdot \frac{25}{9} \ln{2} - 31 \right)\)

\(A = \frac{9}{25} \left( 160 \ln{2} - 31 \right)\)

অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল: \(\frac{9}{25} (160 \ln{2} - 31)\) বর্গ একক। 🎉

```