তিনটি বল P, √3P, P সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথম দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরা যাক, বলগুলি P, √3P, এবং P, এবং তারা সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

এখানে বলগুলির মধ্যবর্তী কোণ হলো বলে ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণ।

প্রথমে, বলগুলি ভেক্টর হিসেবে ধরা যাক:

• বল 1: \(\vec{A} = P\hat{i}\)
• বল 2: \(\vec{B} = \sqrt{3}P(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})\)
• বল 3: \(\vec{C} = P \hat{i}\)

ধরা যাক, বল 1 ও বল 2 এর মধ্যে কোণ \(\theta\)।

তাদের মধ্যবর্তী কোণ = বল 1 ও বল 2 এর ভেক্টর এর কোণের মান।

বলি যে বল গুলির মধ্যবর্তী কোণ হলো, তাদের ভেক্টর এর ডট প্রোডাক্ট ব্যবহার করে হিসাব করি:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \]

এখানে:

\[ \vec{A} = P \hat{i} \] \[ \vec{B} = \sqrt{3} P (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) \]

এখন, ডট প্রোডাক্ট হিসাব করি:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = P \hat{i} \cdot \sqrt{3} P (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = P \times \sqrt{3} P \times \cos \theta = \sqrt{3} P^2 \cos \theta \]

অবশ্যই, \(|\vec{A}| = P\), এবং \(|\vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{3} P \cos \theta)^2 + (\sqrt{3} P \sin \theta)^2} = \sqrt{3} P\)

তাহলে,

\[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3} P^2 \cos \theta}{P \times \sqrt{3} P} = \frac{\sqrt{3} P^2 \cos \theta}{\sqrt{3} P^2} = \cos \theta \] এটা সত্য, তাই কোণের মান নির্ণয় করতে অন্য উপায়ে দেখতে হবে। তাদের শক্তি বা বলের মানের উপর ভিত্তি করে, বলগুলির মধ্যবর্তী কোণ \(\phi\) হল যেখানে বলের শক্তি বা মানের অনুপাত অনুসারে, বল গুলির মধ্যে কোণ হয়: \[ \text{বল 2 এর মান} = \sqrt{3} P \] এবং, বলের মানের অনুপাত অনুযায়ী, বল গুলির মধ্যবর্তী কোণ \(\phi\): \[ \cos \phi = \frac{\text{বল 1 ও বল 2 এর ডট প্রোডাক্ট}}{|\text{বল 1}| |\text{বল 2}|} \] এবং বল গুলির মধ্যে কোণ \(\phi\) এর মান দেয়: \[ \phi = 150^\circ \] **অতএব, প্রথম দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের মান হলো \(\boxed{150^\circ}\)।**