y² = 4ax এবং x² = 4ay পরাবৃত্ত দুটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

প্রশ্ন:

y² = 4ax এবং x² = 4ay পরাবৃত্ত দুটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

উত্তর:

অর্থাৎ, পরাবৃত্ত দুটি হলো:

• y² = 4ax
• x² = 4ay

সমাধান:

প্রথমে, দুটি সমীকরণের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করি।

প্রথম সমীকরণ থেকে:

y² = 4ax
=> a = \(\frac{y^2}{4x}\)

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:

x² = 4ay
=> a = \(\frac{x^2}{4y}\)

দুটি সমান করে:

\(\frac{y^2}{4x} = \frac{x^2}{4y}\)
=> \(y^2 \times 4y = x^2 \times 4x\)
=> \(4 y^3 = 4 x^3\)
=> \(y^3 = x^3\)

অর্থাৎ:

y = x (ধরা যাক, প্রথম ও দ্বিতীয় পরাবৃত্তের সংযোগ রেখা)

এখন, এই রেখার জন্য ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

প্রথম পরাবৃত্তের সমীকরণ থেকে:

y² = 4ax

দ্বিতীয় পরাবৃত্তের সমীকরণ থেকে:

x² = 4ay

সীমা নির্ণয় করি যেখানে দুই পরাবৃত্তের সংযোগ ঘটে।

যখন y = x, তখন:

x = \(\frac{x^2}{4a}\)
=> 4a x = x^2
=> x^2 - 4a x = 0
=> x(x - 4a) = 0

অতএব, ক্ষেত্রের শীর্ষ বিন্দুগুলি হল: (0,0) এবং (4a, 4a)

এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = \(\int_{x=0}^{x=4a}\) (উপরের পরাবৃত্তের y মান - নিচের পরাবৃত্তের y মান) dx

উপরের পরাবৃত্তের y মান:

y = 2 \(\sqrt{ax}\)

নিচের পরাবৃত্তের y মান:

y = \(\frac{x^2}{4a}\)

অতএব, ক্ষেত্রফল:

A = \(\int_{0}^{4a} \left(2 \sqrt{ax} - \frac{x^2}{4a}\right) dx\)

প্রথম অংশের সমাধান:

I_1 = \int_{0}^{4a} 2 \sqrt{ax} dx
= 2 \int_{0}^{4a} \sqrt{ax} dx
= 2 \int_{0}^{4a} \sqrt{a} \sqrt{x} dx
= 2 \sqrt{a} \int_{0}^{4a} x^{1/2} dx
= 2 \sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{4a}
= 2 \sqrt{a} \times \frac{2}{3} (4a)^{3/2}
= \frac{4}{3} \sqrt{a} \times (4a)^{3/2}

উপরে:

(4a)^{3/2} = (4a)^{1} \times (4a)^{1/2} = 4a \times 2 \sqrt{a} = 8 a \sqrt{a}

অতএব, I_1:

I_1 = \frac{4}{3} \sqrt{a} \times 8 a \sqrt{a} = \frac{4}{3} \times 8 a \times a = \frac{32}{3} a^2

দ্বিতীয় অংশের সমাধান:

I_2 = \int_{0}^{4a} \frac{x^2}{4a} dx
= \frac{1}{4a} \int_{0}^{4a} x^2 dx
= \frac{1}{4a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{4a}
= \frac{1}{4a} \times \frac{(4a)^3}{3}
= \frac{1}{4a} \times \frac{64 a^3}{3}
= \frac{64 a^3}{12 a}
= \frac{16 a^2}{3}

অতএব, ক্ষেত্রফল:

A = I_1 - I_2 = \frac{32}{3} a^2 - \frac{16}{3} a^2 = \frac{16}{3} a^2

উত্তরঃ

ক্ষেত্রফল = \( \frac{16 a^2}{3} \)