Explanation: Solve: এখানে, \(x^2 + y^2 + 10x - 10y - 14 = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র \((-5,5)\)
পোলার স্থানাঙ্ক \((r,\theta)\) হলে \(r = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\)
\(\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{5}{-5} \right| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\)
Ans. (D)
ব্যাখ্যা: প্রথমে সমীকরণ থেকে \(2gx\) টাইপ এর রাশি হতে \((10x = 2.5x)\) অর্থাৎ \(g = 5\) এবং একেইভাবে \(f = -5\) ধরে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-5,5)\) নির্ণয় করা হয়েছে, যা কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দ্বিতীয় Quadrant এ অবস্থিত। তারপর একে পোলার স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা হয়েছে। তৃতীয় Quadrant এ থাকার কারণে \(\text{argument } \theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{-x} \right|\) হয়েছে।
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয়
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 + 10x - 10y - 14 = 0 \)
বৃত্তের সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে প্রকাশ করি:
\( (x^2 + 10x) + (y^2 - 10y) = 14 \)
\( (x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 10y + 25) = 14 + 25 + 25 \)
\( (x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 64 \)
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-5, 5) \) এবং ব্যাসার্ধ \( 8 \) ।
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (-5, 5) \) কে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করি।
যদি পোলার স্থানাঙ্ক \( (r, \theta) \) হয়, তবে:
\( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) এবং \( \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) \)
এখানে, \( x = -5 \) এবং \( y = 5 \)
\( r = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
\( \theta = \tan^{-1}(\frac{5}{-5}) = \tan^{-1}(-1) \)
যেহেতু \( x \) ঋণাত্মক এবং \( y \) ধনাত্মক, \(\theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
সুতরাং, \( \theta = \frac{3\pi}{4} \)
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক \( (5\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}) \) 🥳।
```
