int_0^∞x^2e^(-x^3)dx=?

ধরি, \(I = \int_0^\infty x^2 e^{-x^3} dx\) 🤔

এখন, \(u = x^3\) ধরি। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 3x^2\) হবে। সুতরাং, \(du = 3x^2 dx\) অথবা \(x^2 dx = \frac{1}{3} du\)। 🤓

সীমা পরিবর্তন করি:

• যখন \(x = 0\), তখন \(u = 0^3 = 0\)
• যখন \(x \to \infty\), তখন \(u \to \infty^3 = \infty\)

তাহলে, \(I = \int_0^\infty e^{-u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_0^\infty e^{-u} du\) 😎

আমরা জানি, \(\int e^{-u} du = -e^{-u} + C\)। সুতরাং, \[ I = \frac{1}{3} [-e^{-u}]_0^\infty = \frac{1}{3} [-(e^{-\infty} - e^{-0})] \]

যেহেতু \(e^{-\infty} = 0\) এবং \(e^{-0} = 1\), তাই \[ I = \frac{1}{3} [-(0 - 1)] = \frac{1}{3} [1] = \frac{1}{3} \]

অতএব, \(\int_0^\infty x^2 e^{-x^3} dx = \frac{1}{3}\) 🎉