\( \int_{-a}^{a} x \ln(1+x^2) dx \) এর মান কত?

A. \({0}\)

B. \(\frac{1}{2} a^2 \left( \ln(1+a^2)-1 \right)\)

C. \(a^2 \left( \ln(1+a^2)-1 \right)\)

D. \(\frac{1}{2} (1+a^2) \left( \ln(1+a^2)-1 \right)\)

E. \((1+a^2) \left( \ln(1+a^2)-1 \right)\)

সঠিক উত্তরঃ A. \({0}\)

Explanation: Solve: \(x\ln(1+x^2)\) is odd function \[ \int_{-a}^a x\ln(1+x^2)dx=0 \]

Another Explanation (5): ```html

ধরি, \( I = \int_{-a}^{a} x \ln(1+x^2) dx \) 🤔

এখানে, \( f(x) = x \ln(1+x^2) \) একটি ফাংশন।

আমরা পরীক্ষা করি যে ফাংশনটি জোড় (even) নাকি বিজোড় (odd)।

\( f(-x) = (-x) \ln(1+(-x)^2) = -x \ln(1+x^2) = -f(x) \) 😮

সুতরাং, \( f(x) \) একটি বিজোড় ফাংশন।

আমরা জানি, যদি \( f(x) \) একটি বিজোড় ফাংশন হয়, তবে \( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \) 😎।

অতএব, \( \int_{-a}^{a} x \ln(1+x^2) dx = 0 \) 🎉।

```

লগইন করুন