Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + c\) এই বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে \(c\) এর মান কত?
সমাধান:
প্রথমে বৃত্তের সাধারণ রূপ হলো:
\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]
আমাদের ক্ষেত্রে,
\[
x^2 + y^2 - 6x - 4y + c = 0
\]
এখানে,
\(D = -6\),
\(E = -4\),
\(F = c\).
বৃত্তের কেন্দ্রের \(x\) ও \(y\) সম্বন্ধে:
\[
x_{সেন্টার} = -\frac{D}{2} = -\frac{-6}{2} = 3
\]
\[
y_{সেন্টার} = -\frac{E}{2} = -\frac{-4}{2} = 2
\]
অর্থাৎ, কেন্দ্রের অবস্থান হলো \((3, 2)\).
বৃত্তের ধ্রুবকটি হলো:
\[
r^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F
\]
অথবা,
\[
r^2 = 3^2 + 2^2 - c = 9 + 4 - c = 13 - c
\]
এখন, যেহেতু বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে এর অর্থ হলো:
\[
\বৃত্তের কেন্দ্রের \(y\) মানের থেকে \(r\) দূরত্ব হবে, কারণ বৃত্তের একক বিন্দু \(y\) অক্ষের স্পর্শ বিন্দু।
\(y\) অক্ষের বিন্দু হলো \((x, 0)\), যেখানে \(x\) অজানা।
কিন্তু, বৃত্তের কেন্দ্রের \(y\) মান হলো 2, এবং এই অক্ষের স্পর্শ বিন্দু যেখানে \(y=0\), অর্থাৎ,
\[
\text{দূরত্ব} = | y_{সেন্টার} - 0 | = |2 - 0| = 2
\]
এবং, যেহেতু বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তার অর্থ:
\[
r = 2
\]
অতএব,
\[
r^2 = 4
\]
এখন,
\[
13 - c = 4
\]
অর্থাৎ,
\[
c = 13 - 4 = 9
\]
তবে, এই গণনাটি ভুল হয়েছে কারণ আমি ভুলে গিয়েছি যে, বৃত্তের কেন্দ্রের \(y\) মানের থেকে \(r\) দূরত্বই স্পর্শ বিন্দুতে পৌঁছাবে। আসলে, স্পর্শ বিন্দু হবে \((x, 0)\), যার জন্য বৃত্তের সাধারণ সমীকরণে স্থাপন করলে:
\[
(x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = r^2
\]
এবং এই বিন্দু অবশ্যই বৃত্তের উপর, অর্থাৎ,
\[
(x - 3)^2 + 4 = r^2
\]
অন্যদিকে, যেহেতু \(y=0\) এই রেখাটি বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু, তাহলে দূরত্ব কেন্দ্র থেকে এই রেখার থেকে:
\[
| y_{সেন্টার} - 0 | = r
\]
অর্থাৎ,
\[
r = 2
\]
সুতরাং, \(r^2=4\),
এবং,
\[
r^2 = (x - 3)^2 + 4
\]
কিন্তু, স্পর্শ বিন্দুটি অবশ্যই বৃত্তের উপর, তাই:
\[
(x - 3)^2 + 4 = 4
\]
অতএব,
\[
(x - 3)^2 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
x = 3
\]
এখন, বৃত্তের সমীকরণে \(x=3\), \(y=0\) স্থাপন করলে:
\[
(3)^2 + (0)^2 - 6(3) - 4(0) + c = 0
\]
\[
9 + 0 - 18 + 0 + c = 0
\]
\[
-9 + c = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
c = 9
\]
তবে, প্রশ্নে দেওয়া উত্তর অনুযায়ী, \(c=4\)। সম্ভবত, আমি প্রথমে ভুল গণনায় গিয়েছিলাম। আসলে, সঠিক পদ্ধতিটি হল:
**সঠিক সমাধান:**
চিহ্নিত করি যে, বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ, এর স্পর্শ বিন্দু হলো \((x_0, 0)\), যেখানে \(x_0\) অজানা।
বৃত্তের কেন্দ্র হলো \((3, 2)\), এবং এর রেঞ্জ হলো:
\[
\text{দূরত্ব} = \text{r} = \text{কেন্দ্র থেকে স্পর্শ বিন্দু পর্যন্ত} = \text{কেন্দ্রের \(y\) মান থেকে 0 পর্যন্ত} = |2 - 0| = 2
\]
অর্থাৎ,
\[
r=2
\]
এবং,
\[
r^2=4
\]
এখন, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণে \((x, y) = (x_0, 0)\) স্থাপন করে:
\[
x_0^2 + 0^2 - 6x_0 - 4(0) + c = 0
\]
\[
x_0^2 - 6x_0 + c= 0
\]
অর্থাৎ,
\[
x_0^2 - 6x_0 + c= 0 \quad ...(1)
\]
তবে, এই বিন্দু অবশ্যই বৃত্তের উপর, অর্থাৎ, দূরত্ব কেন্দ্র থেকে স্পর্শ বিন্দুর জন্য সমান r=2:
\[
(x_0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 4
\]
\[
(x_0 - 3)^2 + 4= 4
\]
\[
(x_0 - 3)^2=0
\]
অর্থাৎ,
\[
x_0=3
\]
এখন, এই মানটি (3) মূল সমীকরণে স্থাপন করলে:
\[
(3)^2 - 6(3) + c= 0
\]
\[
9 - 18 + c= 0
\]
\[
-9 + c= 0
\]
\[
c=9
\]
তাই, সঠিক উত্তর হলো \(c=9\)। কিন্তু প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে **"4"**, যা হয়ত ভুল বা অন্য ধরণের ব্যাখ্যার জন্য। তবে, সঠিক গণনায়, **\(c=9\)**।
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
**\(c=9\)**
