If the circles x² + y² - 16x - 12y + 75 =0 and 5x² + 5y² - 32x - 24y + 75 =0  touch each other, then the equation of the common tangent of their point of contact is -- 

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়

বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ:

প্রথম বৃত্ত: \( x^2 + y^2 - 16x - 12y + 75 = 0 \) \( \cdots (1) \) দ্বিতীয় বৃত্ত: \( 5x^2 + 5y^2 - 32x - 24y + 75 = 0 \) \( \cdots (2) \)

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

প্রথম বৃত্তের জন্য:

\( (x-8)^2 + (y-6)^2 = 8^2 + 6^2 - 75 \) \( (x-8)^2 + (y-6)^2 = 64 + 36 - 75 \) \( (x-8)^2 + (y-6)^2 = 25 \) কেন্দ্র \( C_1 = (8, 6) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = 5 \) 🎉

দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:

সমীকরণ (2) কে 5 দিয়ে ভাগ করে পাই, \( x^2 + y^2 - \frac{32}{5}x - \frac{24}{5}y + 15 = 0 \) \( (x - \frac{16}{5})^2 + (y - \frac{12}{5})^2 = (\frac{16}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 - 15 \) \( (x - \frac{16}{5})^2 + (y - \frac{12}{5})^2 = \frac{256}{25} + \frac{144}{25} - 15 \) \( (x - \frac{16}{5})^2 + (y - \frac{12}{5})^2 = \frac{400}{25} - 15 \) \( (x - \frac{16}{5})^2 + (y - \frac{12}{5})^2 = 16 - 15 \) \( (x - \frac{16}{5})^2 + (y - \frac{12}{5})^2 = 1 \) কেন্দ্র \( C_2 = (\frac{16}{5}, \frac{12}{5}) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r_2 = 1 \) 🎈

স্পর্শ বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়:

\( C_1C_2 = \sqrt{(8 - \frac{16}{5})^2 + (6 - \frac{12}{5})^2} \) \( = \sqrt{(\frac{40-16}{5})^2 + (\frac{30-12}{5})^2} \) \( = \sqrt{(\frac{24}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{\frac{576 + 324}{25}} = \sqrt{\frac{900}{25}} = \sqrt{36} = 6 \) যেহেতু \( r_1 + r_2 = 5 + 1 = 6 \), সুতরাং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে স্পর্শ করে। 💖 মনে করি, স্পর্শ বিন্দুটি হলো \( (h, k) \)। যেহেতু এটি \( C_1C_2 \) সরলরেখাংশের ওপর অবস্থিত, তাই \( (h, k) \) বিন্দুটি \( C_1 \) ও \( C_2 \) কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \( 5:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \( h = \frac{5 \cdot \frac{16}{5} + 1 \cdot 8}{5+1} = \frac{16+8}{6} = \frac{24}{6} = 4 \) \( k = \frac{5 \cdot \frac{12}{5} + 1 \cdot 6}{5+1} = \frac{12+6}{6} = \frac{18}{6} = 3 \) সুতরাং, স্পর্শ বিন্দুটি হলো \( (4, 3) \) 🥰

স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:

\( x^2 + y^2 - 16x - 12y + 75 = 0 \) বৃত্তের \( (4, 3) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ: \( 4x + 3y - 8(x+4) - 6(y+3) + 75 = 0 \) \( 4x + 3y - 8x - 32 - 6y - 18 + 75 = 0 \) \( -4x - 3y + 25 = 0 \) \( 4x + 3y = 25 \) সুতরাং, নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ: \( 4x + 3y = 25 \) 🤩 ```