Another Explanation (5):
সম্পূর্ণ সমাধান:
প্রদত্ত দুটি বৃত্তের সমীকরণ হলো:
১) \( x^2 + y^2 = 9 \) (বৃত্ত 1)
২) \( x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 \) (বৃত্ত 2)
- প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করিঃ
উপরের সমীকরণটি সম্পূর্ণ করে লিখলে,
\( x^2 + y^2 = 9 \)
এটি কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \( r_1 = 3 \)।
- দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণকে সম্পূর্ণ করে লিখিঃ
\[
x^2 + 6x + y^2 + 8y + c = 0
\]
এখানে, সম্পূর্ণ করার জন্য,
\[
x^2 + 6x + y^2 + 8y = -c
\]
প্রতিটি অংশের জন্য সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:
\[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
\]
\[
y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16
\]
অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
(x + 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -c
\]
অর্থাৎ,
\[
(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16 - c
\]
\[
(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 - c
\]
এখানে, কেন্দ্র \(( -3, -4 )\) এবং ব্যাসার্ধ \( r_2 = \sqrt{25 - c} \)।
- দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, এজন্য তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব ও ব্যাসার্ধের সম্বন্ধ ব্যবহার করিঃ
দুটি কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব:
\[
d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
প্রতিটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো:
\[
r_1 = 3,\quad r_2 = \sqrt{25 - c}
\]
বৃত্ত দুটি যদি বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান হবে তাদের ব্যাসার্ধের যোগফলের সাথে:
\[
d = r_1 + r_2
\]
অর্থাৎ:
\[
5 = 3 + \sqrt{25 - c}
\]
এখানে,
\[
\sqrt{25 - c} = 5 - 3 = 2
\]
দুটি সমানতার উপর ভিত্তি করে,
\[
\sqrt{25 - c} = 2
\]
স্কোয়ার করি:
\[
25 - c = 4
\]
অতএব,
\[
c = 25 - 4 = 21
\]
**উত্তর: \(\boxed{21}\)**
